高考一轮复习幂函数与二次函数.doc

第6讲　幂函数与二次函数 【201年高考会这样考】 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用． 基础梳理 1．幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(αR)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象分别如右图． 3．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|xR且x≠0} 值　域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|yR且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x[0，＋∞)时，增 x(－∞，0]时，减 增 增 x(0，＋∞)时，减 x(－∞，0)时，减 定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 4.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x上单调递增 在x上单调递增 在x上单调递减 在x上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0) (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 五个代表 函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表． 两种方法 函数y＝f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称． (2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)． 双基自测 1．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)． A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析　f(x)为奇函数，f(1)＝－f(－1)＝－3. 答案　A 2.(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(　　)．A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ 答案　B 3．(2011·浙江)设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于(　　)． A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 解析　由或得α＝－4或α＝2，故选B. 答案　B 4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于(　　)． A．3 B．2或3 C．2 D．1或2 解析　函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增， 由已知条件即解得b＝2. 答案　C 5．(2012·武汉模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、bR)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. 解析　f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2 由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]， 则因此f(x)＝－2x2＋4. 答案　－2x2＋4 考向一　二次函数的图象 【例1】(2010·安徽)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)． [审题视点] 分类讨论a＞0，a＜0. 解析　若a＞0，则bc＞0，根据选项C、D，c＜0，此时只有b＜0，二次函数的对称轴方程x＝－＞0，选项D有可能；若a＜0，根据选项A，c＜0，此时只能b＞0，二次函数的对称轴方程x＝－＞0，与选项A不符合；根据选项B，c＞0，此时只能b＜0，此时二次函数的对称轴方程x＝－＜0，与选项B不符合．综合知只能是选项D. 答案　D 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等． 【训练1】 已知二次函数f(x)的图象如图所示，则