高考数学计数原理.doc

计数原理 要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。 突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。 2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……在第n类办法中有种不同的方法。那么完成这件事共有：N=++……+种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则AB=,AB=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有：N=··……·种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去做，才能完成这件事，各步之间不能重复也不能遗漏。 3、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题。 区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。 分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，是推导排列数与组合数计算公式的依据。要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系。 4、解决基本计数原理问题所用的思想方法及技巧 （1）建模法：建立数学模型，将排列组合问题转化为数学问题，是计数方法中的基本方法。 （2）枚举法：利用枚举法（如树状图）可以使问题的分析更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设计思想。 总之，对于一些较复杂的既要用分类加法计数原理又要用分步乘法计数原理的问题，恰当地画出表格，合理建模或用树状图枚举全部结果是解决问题的基本思想方法。 5、两个原理的综合运用 （1）必须分清楚两个原理的条件和结论。 如果完成一件事情有两类方案，这两类方案彼此之间是相互独立的，无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。 如果完成一件事情需要分成几个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，而完成每一个步骤有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。 （2）在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么简单地说“分类互斥”“分步互依”，关键是看能否独立完成这件事。与此同时还要注意分类、分步不能重复和遗漏。 （3）对于较为复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，我们可以根据题意恰当合理的画出示意图或列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题。 （4）分类计数原理和分步计数原理是排列、组合问题的最基本的原理，同时也是推导排列数、组合数公式的理论依据，还是求解排列、组合问题的基本思想方法。 6、排列与排列数公式 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 注意：（1）排列定义包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序”排列。 （2）