高考数学解斜三角形老师.doc

2012高考数学解斜三角形 一、知识梳理 1.正弦定理：===2R，其中R是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=. 3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB, 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin, sin=cos…… 在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; 证明：tanC＝tan[ ∏－（A＋B）] 即tanC＝－（tanA＋tanB）÷（1－tanA×tanB） －tanC＝（tanA＋tanB）÷（1－tanA×tanB） －tanC＋tanA×tanB×tanC＝tanA＋tanB 移项tanA×tanB×tanC＝tanA＋tanB＋tanC三角形三个内角A、B、C依次成等差数列,则必有一个角为60°，假设是B为60°，且B对应的边为b，则根据余弦定理，a.a+c.c-b.b=ac又因为b.b=a.c所以代入到前式，则a=c,又将a=c代入第一个式子，则a=b所以a=b=c==，可求出角C，再求出b、c. (2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通过=求B时， 可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： A90° A=90° A90° ab 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 ab absinA 两解 无解 无解 a=bsinA 一解 absinA 无解 （一）选择题（共7题） 1.（安徽卷文5）在三角形中，,则的大小为（ ） A． B． C． D． 解：由余弦定理， 2.（北京卷文4）已知中，，，，那么角等于（ ） A． B． C． D． 【解析】由正弦定理得: 【答案】C 3.（福建卷理10文8）在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为 A. B. C.或 D. 或 解： 由得即 ,又在△中所以B为或 4.（海南宁夏卷理3）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 A. B. C. D. 解：设顶角为C，因为，由余弦定理 5.（山东卷文8）已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（ ） A． B． C． D． 解析：本小题主要考查解三角形问题。， ， .选C. 本题在求角B时,也可用验证法. 6.（陕西卷理3）的内角的对边分别为，若，则等于（ ） A． B．2 C． D． 解：由正弦定理，于是 7.（四川卷文7）的三内角的对边边长分别为，若，则( ) 　（Ａ）　　　　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ） 【解】：∵中 ∴∴ 故选B； 【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式； 【突破】：应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的；在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用。 （二）填空题（共6题） 1.（湖北卷理12）在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为 . 解：由余弦定理，原式 2.（湖北卷文12）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝ . 解：由余弦定理可得, 3.（江苏卷13）若，则的最大值 。 【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝ ， 根据面积公式得=，根据余弦定理得 ，代入上式得 = 由三角形三边关系有解得， 故当时取得最大值【答案】 4.（山东卷理15）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B