第九章动量矩定理讲解.ppt

* ，是均质圆板单位面积的质量。因此圆板对于中心轴的转动惯量 （3）均质圆板对于中心轴的转动惯量 设圆板的半径为R，质量为m 。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环半径为ri，宽度为dri，则薄圆环的质量为 式中 或 * 二、回转半径（或惯性半径） 回转半径（或惯性半径）定义为 如已知ρz ，则 即: 物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平 方的乘积。 * 三、平行轴定理 定理 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即 证明：设点C为刚体的质心，刚体对于通过质心的 z1 轴的转动惯量为JZc，对于平行于该轴的另一轴z的转动惯量为JZ，两轴间距离为d。分别以C、O两点为原点，作直角坐标系Cx1y1z1和Oxyz，不失一般性，可令轴y与轴y1重合。 * 因为x=x1，y=y1+d ，于是 由质心坐标公式 当坐标原点取在质心C时，yC=0， 又有 于是得 * 例：质量为m，长为l的均质细直杆如图，求此杆对于垂直于杆轴且通过质心C的轴zc的转动惯量。 解：因为 应用平行轴定理，得 * 四、计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 例:钟摆：均质直杆m1, l ；均质圆盘：m2 , R 。求 JO 。 解： * ?解： 其中 由 ，得 又如：空心圆柱体，已知： ，求 。 * 五、确定转动惯量的实验法 例如，欲求物体对于轴O的转动惯量，可将该物体在轴O悬挂起来，并使其作微幅摆动。 设φ角以逆时针方向为正。物体的转动微分方程为 物体作微幅摆动，有 ，得 或 此方程的通解为 φ0称为角振幅，θ是初相位，它们都由运动初始条件确定。 * 摆动周期为 测定mg，a和摆动周期T，则物体对于轴O的转动惯量可按照下式计算： * §9.5 质点系对于质心的动量矩定理 一、质点系对质心的动量矩 则质点系对于质心的动量矩为 或： 即，质点系对质心C的动量矩等于质点系对任一定点O的动量矩减去集中于质心的系统动量对点O的动量矩。 点O为定点，点C为质点系的质心， 为固连于质心的平移参考系 即，质点系对任一定点O的动量矩等于质点系对质心C的动量矩加上集中于质心的系统动量对点O的动量矩。 * 另外 而 所以有： 可见，计算质点系对质心的动量矩时，用质点的绝对速度vi，或用相对速度 vir，计算结果是一样的。 * 二、质点系对于质心的动量矩定理 而 则有 即: 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对质心的主矩。这个结论称为质点系对于质心的动量矩定理。 根据质点系对于定点O的动量矩定理 0 即 * 平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。 取质心C为基点，它的坐标为xc，yc。设D为刚体上的任一点，CD与x轴的夹角为j，则刚体的位置可由xc，yc和j确定。 刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动。 Cx’y’为固连于质心C 的平动参考系，平面运动刚体相对于此动系的运动就是绕质心C 的转动，则刚体对质心的动量矩为 §9. 6 刚体的平面运动微分方程 * 设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力系F1、F2、…、Fn，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得 上式也可写成 以上两式称为刚体的平面运动微分方程。 应用时，前一式取其投影式。 【例9】半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线轨道纯滚动。设轮的惯性半径为ρC，作用于圆轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静滑动摩擦因数为f，问力偶矩M必须符合什么条件方不致使圆轮滑动？ 平面运动微分方程为 因圆轮只滚不滑，有 解得 欲使轮只滚不滑，必须有 故 所以圆轮只滚不滑的条件为 而 又由（2）式得 即 FN F mg 解：取圆轮为研究对象， * 【例10】 均质圆柱体A和B的质量均为m，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求 (1) 圆柱B下落时质心的加速度。(2)若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱B的质心将上升。 *