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第九章第6讲与圆有关的定点、定值、最值与范围问题讲解
与圆有关的最值与范围问题是江苏高考考查解析几何的重点,解这类问题的主要方法是建立目标函数,利用基本不等式以及圆的几何意义,特别是几何法,是解与圆有关的问题的特有的典型方法. 热点突破25 最值与范围问题求解方法 [审题与转化] 第一步:(1)利用椭圆的几何性质求方程.(2)先假设点存在,将面积用点的坐标表示,再用均值不等式求解. [反思与回顾] 第三步:本题考查椭圆方程、几何性质等知识,考查解析几何的基本思想方法及转化与化归思想.题目中转化条件是解题关键. 高考经典题组训练 2.(2012·天津卷改编)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是________. 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题 考点梳理 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ___0 Δ___0 Δ___0 几何观点 d___r d___r d___r < = > > = < 2.圆与圆的位置关系(圆O1、圆O2半径r1、r1,d=O1O2) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量化 几何 观点 d>______ d=______ |r1-r2|<d<r1+r2 d=______ d<______ 方程 观点 Δ___0 Δ___0 Δ___0 Δ___0 Δ___0 r1+r2 r1+r2 |r1-r2| |r1-r2| < = > = < 【助学·微博】 一个考情分析 与圆有关的综合性问题,其中最重要的类型有定点问题、定值问题、最值与范围问题. 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解或计算求得. 1.已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为________________. 考点自测 答案 (x+2)2+(y-1)2=5 3.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是________. 4.(2012·盐城模拟)与直线x=3相切,且与圆(x+1)2+(y+1)2=1相内切的半径最小的圆的方程为________. 5.(2013·连云港模拟)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射,到达圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上一点的最短路程是________. 答案 4 考向一 与圆有关的定点问题 [方法总结] 与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点.解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程. 【训练1】 已知圆x2+y2=1与x轴交于A、B两点,P是该圆上任意一点,AP、PB的延长线分别交直线l:x=2于M、N两点. (1)求MN的最小值; (2)求证:以MN为直径的圆恒过定点,并求出该定点的坐标. 【例2】 (2013·扬州调研)已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0. (1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程; 考向二 与圆有关的定值问题 [方法总结] 解与圆有关的定值问题,可以通过直接计算或证明,还可以通过特殊化,先猜出定值再给出证明.这里是采用的另外一种方法,即先设出定值,再通过比较系数法求得. 【例3】 (2012·扬州中学质检(三))已知⊙C:x2+(y-1)2=1和直线l:y=-1,由⊙C外一点P(a,b)向⊙C引切线PQ,切点为Q,且满足PQ等于P到直线l的距离. 考向三 与圆有关的最值与范围问题 (1)求实数a,b满足的关系式; (2)设M为⊙C上一点,求线段PM长的最小值; (3)当P在x轴上时,在l上求一点R,使得|CR-PR|最大. [方法总结] 解与圆有关的最值与范围问题,可以通过建立目标函数求得,还可以用基本不等式和圆的几何意义求解. 答案 [8,16] 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考
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