第5章 线性方程组的直接方法解析.ppt

第五章 解线性方程组的直接法 § 5.2 高斯消去法 主元素法的意义 §5.3 高斯主元素消去法 交换原则：通过方程或变量次序的交换，使在对角线位置上获得绝对值尽可能大的系数作为akk(k)，称这样的akk(k) 为主元素，并称使用主元素的消元法为主元素法 根据主元素选取范围分为：① 列主元素法、② 行主元素法、③ 全主元素法 5.3.2 列主元素法 列主元素法就是在待消元的所在列中选取主元，经方程的行交换，置主元素于对角线位置后进行消元的方法。 (5)- m21(4), (6)- m31(4)得 保留有主元素的方程 全主元素法不是按列选主元素，而是在全体待选系数中选取，则得全主元素法。 例5.3 用全主元素法解下列线性方程组 计算m21=-19/40=0.475，m31=4/40=0.1 (5)- m21(4), (6)- m31(4) 消去x2 得 保留有主元素的方程 §5.4 矩阵三角分解法 §5.5 解三对角线方程组的追赶法 5.6 解正定矩阵方程的平方根法 §5.7 向量和矩阵的范数 定义5.2 对任一向量X?Rn, 按照一定规则确定一个实 数与它对应, 该实数记为||X||, 若||X||满足下面三个 性质: 在Rn中，常用的几种向量范数有： 当不需要指明使用哪一种向量范数时，就用记号||.||泛指任何一种向量范数。 有了向量的范数就可以用它来衡量向量的大小和表示向量的误差。 设x*为Ax=b的精确解，x为其近似解，则其绝对误差可表示成||x-x* ||，其相对误差可表示成 定义5.5（矩阵的范数）如果矩阵 的某个非负的实值函数 ，满足 §5.8 误差分析 定理 5.12 (b的扰动对解的影响) 设A非奇异， 定理 5.12 (b的扰动对解的影响) 设A非奇异， 定义5.9 （矩阵条件数）设A为非奇异矩阵， 称 为矩阵A的条件数。 (行范数) Ax=b≠0，且 则有 条件数 Cond(A) 是反映方程组的病态程度的量 常数项b的微小误差对解的影响 (6.18)式乘(6.19)得 设A是精确的, b有误差 (或扰动)δb, （6.18） 定理 5.13 (A的扰动对解的影响) 设A非奇异，Ax=b≠0，且 若 ,则 A的微小误差对解的影响。设b是精确的, A有误差 (或扰动) 设b是精确的, A有误差 (或扰动)δA, 定理 5.13(A的扰动对解的影响) 设A非奇异,Ax=b≠0， 我们还可证明更为一般的结论： 当方程组的系数矩阵A非奇异和常数项b为非零向量时，且同时有扰动δA，δb，满足 ，若x和x+δx分别是方程组Ax=b 及 的解，则 例5.13 线性方程组 的系数矩阵带误差，成为如下方程组 求方程组系数矩阵的条件数, 并说明方程组的性态 例5.13 线性方程组 求方程组系数矩阵的条件数, 并说明方程组的性态 解 因为 所以 因此方程组是良态的 求得方程组 Ax=b 的一个近似解以后,希望判断其精度，检验精度的一个简单办法是将近似解再回代到原方程组去求出余量r. 如果r很小，就认为解是相当精确的。 定理5.14 设 是方程组 Ax=b 的一个近似解,其精确解记为 ,r 为 的余量。则有 5.9 精度的事后分析 如果 r 很小，就认为解是相当精确的。 证明： 例5.14 设A为正交矩阵，证明：cond2(A)=1 分析：由正交矩阵和条件数的定义便可推得 解：因为A是正交矩阵， 故ATA= AAT=E， A-1= AT，从而 例5.15 设A，B为n阶矩阵，证明： 证： 例5.16 设A，B为n阶非奇异矩阵，||?||表示 矩阵的任一种范数，证明： 证： 由Ly=f 解出y 又由Ux=y解出x 工程实际计算中,线性方程组的系数矩阵A常常具有正定(对称)性，其各阶顺序主子式及全部特征值均大于0。矩阵的这一特性使它的三角分解也有更简单的形式，从而导出一些特殊的解法，如平方根法与改进的平方根法。 乔累斯基(Cholesky)分解法 证：因A是正定矩阵, A的顺序主子式 ?i0, 1≤i≤ n 因此存在惟一的分解 A=LU 定理6 设A是正定矩阵，则存在惟一的对角元