第二节迭代法2讲解.ppt

数学学院 信息与计算科学系 第二节 迭代法 一、迭代法的基本思想 迭代法是一种重要的逐次逼近法,其基本思想是： 将方程 f (x)= 0 化为等价方程 然后在隔根区间内取一点 x0 ，按下式计算 计算结果生成数列 如果这个数列有极限 这种求根方法称为迭代法。 如果迭代序列收敛,则称迭代格式收敛,否则称为发散。 当?(x) 连续时,显然 就是方程 x=?(x) 之根。 于是可以从数列 中求得满足精度要求的近似根。 称为迭代格式, ?(x) 称为迭代函数, x0 称为迭代初值,数列 称为迭代序列。 二、 迭代法的几何意义 一般来说从 构造 不止一种，有的 收敛，有的不收敛，这取决于 的性态。 方程 的根，在几何上就是直线 与曲线 的横坐标 如图2-3所示 对方程进行如下三种变形： 用迭代法求方程 x4+2x2-x-3=0 在区间[1, 1.2]内的 实根。 解 例1 分别按以上三种形式建立迭代格式，并取x0=1进行迭代计算，结果如下： 第二种格式比第一种格式收敛快得多,而第三种格式不收敛。 可见迭代格式不同, 收敛情况也不同。 准确根 = 1.124123029 。 三、迭代法的收敛条件 定理 1 (1) 当x∈[a , b]时， (2) 存在正数L1，使对任意的 x∈[a , b], (2) 对任意迭代初值 x0∈[a , b],迭代序列 (1) 方程 在[a , b]上有唯一根 ; 在[a , b]上存在,且满足条件： 设 收敛于 。 则 (1) 先证方程 之解存在且唯一. 由于 在[a , b]上存在, f (x) 在[a , b]上连续。 作函数 由条件 连续。 所以 证 使 即 则 (1) f (a) ≤0 , f (b) ≥0 , 故存在 , 则由微分中值定理及条件值定理及条件(2)有 此式仅当 才能成立， 再证迭代格式 收敛 任取 x0∈[ a, b ]，由微分中值定理，有 因此 （2） 则由微分中值定理及条件(2) 有 设方程 还有一根 此定理在理论上十分重要, 但是条件(1)却不容易判别. 如果仅在根的邻域中考察迭代格式, 则下述定理可避免条件(1)的判别。 即迭代过程收敛， 且 证毕。 反复用此不等式，并注意 0 L 1 , 因此 例1中采用的三种迭代格式 ,在隔根区间(1, 1.2)内有 例如 且有下列误差估计式 定理 2 则任取 x0∈ U , 迭代格式 均收敛于 , 若方程 之根的某邻域 L 1，使 内 存在,且存在正常数 则迭代必发散。 提示：定理的证明利用定理1以及微分中值定理。 反之，若在根 的邻域 U 内 例2 用迭代法求方程 在 内的一个近似根，取初始近似值 解 原方程的等价方程可以有以下不同形式 对应的迭代公式有： 考察四种迭代法在根附近的收敛情况，取根的近似值为 解 不收敛 不收敛 收敛 收敛 由定理2知 值越小，收敛速度就越快 118 117 1.365223058 16 115 114 11-469.7 3 112.9969 6.732 2 110.8165 -0.875 1 1.5 1.5 1.5 1.5 0 (4) (3) (2) (1) n 取 列表计算如下 n (1) (2) (3) (4) 9 1110 115 120 123 125 1接上图 四、迭代法的收敛速度 则称迭代格式 是 p 阶收敛的. p = 1时称为线性收敛, 1p2时称为超线性收敛. 利用微分中值定理及泰勒展式可得下面的定理3. 显然, 收敛阶越大, 收敛越快 p = 2 时称为二阶(平方)收敛, 特别地, 令 若 则迭代过程在 的邻近为 p 阶收敛。 (1) 若 为线性收敛； 则迭代过程在 的邻近 (2) 若 定理 3 之根,在 的邻域 U内 有连续的 p 阶导数，则 设 为 由泰勒展式可得 解 的三阶方法。假设 x0 充分靠近 , 求