第五章定积分及其应用讲解.doc

第五章 定积分及其应用 §1 定积分的概念与性质 目 的 要 求 ：理解定积分的概念和性质，能熟练的应用定积分的性质。 重 点 ：定积分的性质。 难 点 ：定积分的概念。 教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段 ：板书 ,多媒体 教 参 ：《高等数学》同济大学版 教学环节及组织： 引入新课：定积分是微积分学中的一个重要概念，本章先从实际问题中引出定积分的概念，然后讨论定积分的计算方法。 新课讲授： 一、两个引例：1）曲边梯形的面积； 2）变速直线运动的路程。 二、定积分的定义 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 ， 把区间[a,b]分成n个小区间，记在[]上任意取一点，作和式： 在[]怎样选取，只要有I （I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做即I=其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。和S=。表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x无关，即==。 3.定义中的不能用代替。 4.如果存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？ 以下给出两个充分条件。 定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。 当f(x)0时，表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则表示曲边梯形面积的代数和。 是当ab时才有意义，而当a=b与ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定： =0 ab时，=- 性质1：函数和差的定积分等于它的定积分的和差，即 性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个），即 性质3：无论a,b,c的位置如何，有 性质4：若f(x)，则 性质5：在[a,b]上，若f(x)g(x)，则 性质6： 性质7：设在[a,b]上，则 性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点，使得 例1 利用定积分几何意义，求定积分值 解：上式表示介于, , , 之间面积 例2（估计积分值） 证明 证：在 上最大值为，最小值为2 ∴ ∴ 小结：通过这节课的学习，我们要理解定积分的概念和性质，能熟练的应用定积分的性质。 课 堂 交 流 ： ：定积分和不定积分的区别？ ：略。 ：学生自主进行。 ：P91、习题5—1 。 课外作业及思考题 ： 课外作业：无 。 §2 牛顿—莱布尼兹公式 目 的 要 求 ：会求变上限定积分的导数，理解New—Leibniz公式，能够运用这个公式求函数的定积分。 重 点 ： New—Leibniz公式。 难 点 ：变上限定积分的导数。 教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段 ：板书 ，多媒体 教 参 ：《高等数学》同济大学版 教学环节及组织： 复习巩固： 1）定积分的定义； 2）定积分的性质。 引入新课：从上节课我们知道，用定积分定义计算积分值很繁难，本节课通过揭示定积分与原函数的关系，导出定积分的基本计算公式：New—Leibniz公式。 新课讲授： 一、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为（）称是变上限积分的函数。 定理1设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上可导，且导数为，即积分上限函数是被积函数的一个原函数。 证明省略。 该定理既说明了连续函数的原函数一定存在，又指出了定积分与原函数的关系，因而称为微积分基本定理。。定理2如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 　。 　(1) 证　已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即 。 (2) 在上式中令x = a，得。又由?????的定义式及上节定积分的补充规定知?????????，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的?????，可得 ， 在上式中令x = b，就得到