山东2016高考数学理科二轮复习课件：专题一第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 真题感悟·考点整合 热点聚焦·题型突破 归纳总结·思维升华 第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值 问题 高考定位　高考对导数计算的考查贯穿于与之有关的每一道题目之中，函数的单调性、极值与最值均是高考命题的重点内容，在选择题、填空题、解答题中都有涉及，试题难度不大. 真 题 感 悟 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围. 考 点 整 合 1.导数与函数的单调性 (1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间内为减函数. (2)f′(x)＞0是f(x)递增的充分条件，但不是必要条件，例如y＝2x3在(－∞，＋∞)上递增，但并不是都有f′(x)＞0，同样f′(x)＜0是f(x)递减的充分非必要条件. 2.极值的判别方法 当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是点x0两侧导数异号，而不是f′(x)＝0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小. 3.闭区间上函数的最值 在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者. 热点一　导数与函数的单调性 [微题型1]　求函数的单调区间 探究提高　(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到单调递增(或递减)区间. (2)讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制. [微题型2]　已知单调性求参数的范围 探究提高　已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围. 当x＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数； 当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数； 当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数； 当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数. 综上知g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数. 热点二　导数与函数的极值、最值 [微题型1]　求函数的极值(或最值) 又f(0)＝1，f(1)＝a， 所以当0a1时，f(x)在x＝1处取得最小值； 当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值； 当1a4时，f(x)在x＝0处取得最小值. 探究提高　求函数在闭区间上的最值的步骤简记为：求导→求根→求根所对应的函数值与端点的函数值→比较大小得结论.求函数在非闭区间上的最值的步骤：第一步，求导数f′(x)；第二步，判断函数f(x)的单调性；第三步，下结论. [微题型2]　与极值点个数有关的参数问题 探究提高　极值点的个数，一般是使f′(x)＝0方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究. 1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用逗号或“和”字隔开. 2.可导函数在闭区间[a，b]上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值. 3.可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件； (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点. 4.极值与最值的区别与联系 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区