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《工程中的数值分析》开放性考试题 目：工程中的数值分析分 院：建筑与土木工程系班 级：14土木工程本一姓 名：陈凯学 号：14219114125完成日期：2016年12月14日温州大学瓯江学院教务部二○一二年十一月制1.1 二分法的和算法及Excel实现原理:设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(b)0由闭区间上连续函数的性质及定理2-1可知,方程(2.2)在区间(a,b)内至少有一个实根.二分法的基本思想是:逐步二分区间[a,b],通过判断两端点函数值的符号,进一步缩小有根区间,将有根区间的长度缩小到充分小,从而求出满足精度要求的根的近似值.算法:给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)0,给定精确度.求区间(a,b)的中点c.计算f(c).若f(c)=0,则c就是函数的零点;若f(a)·f(c)0,则令b=c;若f(c)·f(b)0,则令a=c.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.Excel实现:单元格内分别输入区间[a,b]的左右端点值,中点值=(a+b)/2,依次计算出各点代入公式的f(x)值,用IF函数比较单元格内输入“=IF(f(中点值)0”,中点值,a)如果f(中点值)＜0,则下个左端点取原来的中点值(a+b)/2.同理“=IF(f(中点值)0,b,中点值)”下个右端点取原来的右点值b.如此循环往下,直至某个中点值代入f(x)得到的解满足题目要求的近似解或者零点即f(c)=0则该值则为零点。1.2不动点迭代法的原理和算法及Excel实现，并分析不同迭代格式的收敛性原理:将线性方程f(x)=0化为一个同解方程x=φ(x),并且假设φ(x)为连续函数,任取初值x0,代入方程得到 x1=φ(x0),x2=φ(x1)····xk+1=φ(xk),k=0,1,2,····称为求解非线性方程组的简单迭代法,称φ(x)为迭代函数,xk称为第k步迭代值.若{xk}收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散.算法：确定初值在B2和D2分别输入左端点a和右端点b在A5中输入公式：=B2，A6输入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下复制下去在B5输入f(x)方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近x轴的f值，作为迭代的初始值。方程化为等价方程，并定义迭代格式迭代输入初值x，输入迭代格式，并往下复制下去在输入f的计算公式，往下复制下去，通过观察数值是否收敛，若收敛，则取收敛到后面的数值；若发散，则更改定义迭代格式，再重新重复以上步骤进行计算。Excel实现:x3-x+1区间端点a=-1b=0xf(x)-1-1-0.9-0.629-0.8-0.312-0.7-0.043-0.60.184-0.50.375-0.40.536-0.30.673-0.20.792-0.10.899迭代式:xk+1=(xk-1)^1/311-0.4999938 1.37499844812-0.4999979 1.37499948313-0.4999993 1.37499982814-0.4999998 1.37499994315-0.4999999 1.37499998116-0.5000000 1.37499999417-0.5000000 1.37499999818-0.5000000 1.37499999919-0.5000000 1.37520-0.5000000 1.37521-0.5000000 1.375f(x19)=1.375不同迭代格式的收敛性：假定迭代函数对任意存在正数L1，使对任意则迭代过程对于任意初值若方程有根，。1.3 Newton迭代法的原理和算法及Excel实现。原理：Newton迭代法的基本思想是“以直代曲”，将f（x）=0在每一步近似为线性方程来求解，具体方法如下：将f（x）在xk作Taylor一阶展开f(x)=f(xk)+f’(xk)(x-xk)+1/2!f’’(§)(x-xk)2,§介于x和xk之间.略去上式中的二次项，得到线性方程，解出x，作为新的近似根xk+1：xk+1=xk-f(xk)/f’(xk),k=0,1,2,3······称为Newton迭代法 算法:先假定方程的有根区间为[a,b]，计算[a,b]区间内各个点（整数点）的函数值，当函数值出现f（a0）0,f（b0）0时，[a0,b0]即为方程的有根区间。将有根区间的长度若干等分，求出对应的点的函数值。将此数据绘图，并根据所绘的图求得初始值。求得方程f（x）的一次求导公式f′（x），得到迭代公式xk+1=xk-f（xk）/f′（xk），将初始值代入迭代公式中计算出下一项的x值，并计算对应的函数值，新的x