工程数值分析总结报告.docx

《工程数值分析》总结报告题 目：分 院：班 级：姓 名：学 号：完成日期：二○一二年十一月制1、非线性方程求根1.1 二分法的原理和算法1.1.1二分法的原理将函数f(x)用二分区间的方法解方程f(x)=0是一种用无限逼近的数学思想，去解方程，它的依据是：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且已知函数在两端点的函数f（a）与f（b）取异号，即两端点函数值的乘积f(a)*f(b)0,则函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个零点，即至少存在一点c，使得f(x)=0的解。1.1.2二分法的算法（1）计算f(x)在有解区间[a, b]端点处的值。（2）计算在区间中点处的值。（3）判断若,则即是根，否则检验：①若与异号，则知道解位于区间，②若与同号，则知道解位于区间，，反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间： （4）当，则即为根的近似值1.2不动点迭代法的原理和算法，并分析不同迭代格式的收敛性1.2.1不动点迭代法的原理和算法将非线性方程f (x) =0化为一个同解方程，并假设为连续函数。任取一个初值，代入方程的右端，得继续 ——…… ——称式为求解非线性方程的简单迭代法称为迭代函数，称为第k步迭代值如果存在一点x，使得迭代序列｛｝满足则称迭代法收敛，否则称为发散。1.2.2分析不同迭代格式的收敛性定理1：设迭代函数在[a,b]上连续，且满足（1当时，存在一正数L，满足0L1，且，有则1）方程在内有唯一解x 2）对于任意初值，迭代法均收敛于x 3） 4）定理2：若x是的不动点，在x的某领域上存在且连续，并满足，则迭代过程在x的领域是线性收敛的1.3 Newton迭代法的原理和算法 设已知方程的近似根,则在附近可用一阶泰勒多项式近似代替.因此, 方程可近似地表示为.用表示的根,它与的根差异不大. 设,由于满足解得重复这一过程,得到迭代格式这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为.计算可得,设是的单根,有,则,故在附近,有.根据不动点原理知牛顿迭代法收敛2、线性方程组的数值解2.1 线性方程组的数值求解的原理和算法2.1.1设线性方程组的数值求解的原理 (1) 的系数矩阵A可逆且主对角元素 均不为零,令 并将A分解成 (2)从而(1)可写成 令 其中 .(3)以B1为迭代矩阵的迭代法(公式) (4)称为雅克比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为 (5)其中为初始向量.2.1.2算法描述1给定迭代初始向量X0以及误差要求delta2根据雅克比迭代公式计算出下一组向量3判断X是否满足误差要求，即||Xk+1 – Xk|| delta4若误差满足要求，则停止迭代返回结果；若否，则返回第二步进行下一轮迭代3、数据插值3.1 Lagrange插值的原理和算法根据线性空间的理论所有次数不超过n的多项式构成的线性空间是n+1维的这个n+1维线性空间的基底也由n+1个多项式组成，并且形式不是唯一的而任意一个n次多项式可由基底线性表示，且在不同的基底下有不同的形式设为上述n+1维线性空间的一个基底显然线性无关且任意n次多项式可由线性表示如果为某个函数的插值函数则称为插值基函数且满足 其中 为插值节点如果为区间上的一组节点我们作一组n次多项式令则从而 显然线性无关且 如果用作的插值基函数而为的插值多项式，则其中为待定参数令即由 可得于是在节点上，以为插值基函数的插值多项式（记为）为 其中 称式为的Lagrange插值多项式称为n次Lagrange插值基函数3.2 Newton插值的原理和算法一般的，一阶差商 二阶差商是一阶差商的差商一般的，二阶差商n阶差商为：而n阶差商可以表示为函数值的线性组合，即，其中且差商与节点排列顺序无关，即。其中，是0，1，…，n的任意一种排列若是x的m次多项式，则是x的m-1次多项式。因而，一般的，在节点上有 其中、分别为在节点上的Newton插值公式和余项。具体算法如下：输入：计算差商，对做对做计算插值N（u）输入插值uV=0对做（5）输出u,v4、数据拟合数据拟合的最小二乘法的原理和算法4.1.1最小二乘法的原理：当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数在数据点处的偏差,即 (i=1,2,…,m) 严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和 最小4.1.2最小二乘法的算法：数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 j=0,1,