点到直线的距离、两条平行直线间的距离重点.ppt

高中数学 3.3.3-3.3.4 点到直线的距离、两平行线间的距离 点到直线的距离： 是指点到直线的垂线段的长度 求P0(x0，y0)到直线l ：Ax+By+C=0的距离的一般 步骤： (1)由直线l 的斜率求出经过点P0且与直线l 垂直的直 线的斜率，根据点斜式求出 直线P0Q的方程． (2)根据两条直线的方程求出交 交点Q的坐标． (3)由P0，Q的坐标，根据两点间 的距离求点到直线的距离． x y o P0 Q l . 当直线l 的方程Ax+By+C=0中A=0时： x y o P0(x0,y0) Q . l ：By+C=0， y=- C B |y0-yQ|= |By0+C| |B| x y o P0(x0,y0) Q . 当直线l 的方程Ax+By+C=0中B=0时： l ：Ax+C=0， x=- C A |PQ|= C B = y0+ |x0-xQ|= |Ay0+C| |A| |PQ|= x0+ C A = 当直线l 的方程Ax+By+C=0中A≠0且B≠0时： x y o l P0(x0,y0) . d Q S R 过P0分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于点R，S． 则P0R的方程为y=y0， R的坐标为： 则P0S的方程为x=x0， S的坐标为： ) By0+C A - ，y0 ( Ax0+C B - x0 , ) ( 当直线l 的方程Ax+By+C=0中A≠0且B≠0时： x y o l P0(x0,y0) . d Q S R 于是有： |Ax0+By0+C| |A| |P0R|= By0+C A - -x0 = |Ax0+By0+C| |B| |P0S|= Ay0+C B - -y0 = |RS| = |P0R|2+|P0S|2 = A2+B2 |A||B| |Ax0+By0+C| 当直线l 的方程Ax+By+C=0中A≠0且B≠0时： x y o l P0(x0,y0) . d Q S R 设|P0Q|=d，由三角形面积公式可得： d·|RS|=|P0R|·|P0S| 于是得： = A2+B2 |Ax0+By0+C| d= |P0R|·|P0S| |RS| 点P0(x0，y0)到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式： d= A2+B2 |Ax0+By0+C| 当直线方程中的A=0时： |d|= |By0+C| |B| 当直线方程中的B=0时： |d|= |Ax0+C| |A| 点P0(x0，y0)到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式： d= A2+B2 |Ax0+By0+C| 求点(-1，2)到直线：3x=2的距离? 解： d= 32+02 |3×(-1)-2| = 5 3 例1.　　已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积． 解：设AB边上的高为h， AB边所在的直线方程： 点C到x+y-4=0的距离： x y o 1 2 3 1 2 3 -1 A B C h 则：S△ABC = 1 2 |AB|·h |AB|= (3-1)2+(1-3)2 = 2 , 2 y-3 1-3 x-1 3-1 = , 即x+y-4=0。 × 因此，S△ABC = 1 2 × 2 2 2 5 =5 h= |-1+0-4| 12+12 = 2 5 √ 　　已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积． 　　你还能有其他 解法吗？ x y o A B C M N 解：　 延长AB交x轴于点D。 D 过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足为M，N。 　　提示： S△ABC = S△ACD - S△BCD 思考：如何求两条平行直线的距离？ 探究：能否将两条平行直线间的距离转化为点到 直线的距离？如何取点呢？ 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． x y o x y o x y o 例2.　　已知直线l1 ：2x-7y-8=0，l2 ：6x-21y-1=0，求直线l1 与l2 间的距离． 解： 设l1 与x轴的交点为A， A点的坐标为:(4，0) 根据点到直线的距离公式： d= A2+B2 |Ax0+By0+C| 点A到l2 的距离为 d= 62+212 |6×4-21×0-1| 53 3 23 = 所以l1 与l2 间的距离是　　　　． 23 159 53 x y o l1 l2 A(4,0) . 23 159 53 = 求下列点到直线的距离： (1)A(-2，3)，l：3x+4y+3=0 (3)C(1，-2)，l： 4x+3y=0 (2)B(1