湖南大学机械振动习题课1全解.ppt

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湖南大学机械振动习题课1全解

2. 一弹簧k与阻尼器c并联于无质量的水平板上。今将一质量m轻放在板上后立即松手,系统即作衰减振动。问质量m的最大振幅是多少?发生在何时?最大速度是多少?发生在何时?设阻尼比0ζ1。 3. 一飞机升降舵的控制板铰接于升降舵的轴上,如图3所示O点,另有一相当于扭簧kθ的联动装置控制其转动。已知控制板绕O点的转动惯量为I O 。为计算控制板系统的固有频率,用图示试验方法测定kθ 。将升降舵固定,而在控制板的自由端联接两个弹簧k1 ,k2 。使k2的一端有简谐支承运动y=asinω。调节激振频率至系统共振,测定共振频率为ω0 。试计算kθ及控制板的固有频率。 2.一质量m =2000 kg,以匀速度v =3 cm/s运动,与弹簧K、阻尼器C相撞后一起作自由振动,如图所示。已知K=48020 N/m,C=1960 N-s/m。问质量m在相撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多大? 3.求图3所示系统在支撑运动为ys=y0 sinωt时的振动微分方程。AB为刚性杆。 * * 1. 求图1所示系统中均匀刚性杆AB在A点对坐标x的等效质量。杆的质量为m,A端弹簧的刚度为k。铰C点到A点的距离为al(0a1),试求C点铰支座放置何处时系统的固有频率达到最大值。 图1 解:取x为广义坐标,根据等效系统与原系统的动能相等得: 由于固有频率与质量的平方根成反比,欲得到最高固有频率,必须使me为极小: 得: 代入: 是为极小值,故铰链应放在离A端 处。 故 图 2 解:系统自由振动的微分方程为: 在t=0,x=x0 , 的初始条件下的响应为: 式中: 对(1)式取一次导数: 最大振幅应发生在 时,由(2)式可知: 时质量m振幅最大,代入(1)式得: 最大速度发生在 时,由(2)式可得: 或 时速度最大,代入(2)式得: 应注意最大速度并不发生在质量m过静平衡位置时,这是和无阻尼自由振动不同之处。 图 3 ① 控制板;② 升降舵 当我们需要操纵飞机抬头或低头时,水平尾翼中的升降舵就会发生作用。升降舵是水平尾翼中可操纵的翼面部分,其作用是对飞机进行俯仰操纵。 红线表示气流方向(也就是飞机机头方向吹过来的风的方向),黑线表示平尾,蓝线表示升降舵舵面。 图1--飞机起飞时升降舵舵面的情况,飞机往前飞,气流就往后吹,气流遇到升降舵上翘的舵面产生阻力,阻力产生压力,压力把升降舵舵面往下压,飞机机头就会自然向上了,飞机就往上飞。 图2----飞机下降时候升降舵舵面的情况。图3---------飞机就是平飞状态。 图1 图2 图3 控制板的固有圆频率为: 图 3 解:取广义坐标θ如图,系统的振动微分 方程为: 故: 共振频率为: 1.求图1所示系统的固有频率。AB为刚性杆,杆本身质量忽略不计。 图1 图b 解:方法(1):能量法 取广义坐标θ如图,利用等效质量和等效刚度的概念,可把原系统等效成为图b所示等效系统。 根据等效前后动能相等: Ie Ke me 得转动惯量: 等效转动刚度: 根据等效前后势能相等: 固有频率为: 取m1, m2, K1, K2处的竖向位移为广义坐标,如何等效? 方法(2):定义法 设使系统绕A点产生单位角加速度需要施加弯矩M,则在m1、m2上产生绕A点的惯性矩: 设使系统产生单位转角需要施加弯矩M,则在K1、K2处将产生弹性恢复力,对支点取矩: 固有频率为: 图 2 解: 系统自由振动的微分方程为: 在t=0,x=0, 的初始条件下的响应为: 由 ,得最大振幅发生在 令 代入得tm=0.3 s,最大振幅为: 应注意最大振幅并不发生在 ,即 时,此时: 图 3 解: 方法(1)按原系统列振动微分方程。 设θ为AB杆的相对转角,y为m上下运动时的绝对位 移,AB杆的静平衡位置为水平,由运动学知识有: y 故: 由动量矩或牛顿定律建立方程 将(1)代入(2)式,经化简可得系统的振动微分方程为: 代入 得: 所以: 方法(2),按等效系统列振动微分方程。 将系统在B点y方向上等效,利用势能相等求等效刚度Ke有: 由牛顿定理有: 将(3)式代入(4)式得到系统的振动微分方程为: 或:

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