第7章立体几何 第6节空间直角坐标系、空间向量及其运算(理)解析.ppt

一、空间向量的有关概念 二、共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 1．共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得_________. 3．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 三、空间向量的数量积 1．定义 已知空间两个非零向量a，b，则______________叫做向量a，b的数量积，记作____，即_______________________．其中〈a，b〉为向量a，b的夹角． 2．运算律 (1)交换律：____________； (2)分配律：____________________； (3)结合律：______________________________． 四、空间向量的坐标运算 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似．(　　) (2)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　) (3)在立体几何中求线段的长度时，可转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式求解．(　　) (4)向量a，a＋b，a－b可构成空间的一个基底．(　　) (5)空间的基底是任意的，但只要基底确定，空间任一向量则都可由基底唯一确定．(　　) [答案及提示] (1)√　(2)√　(3)√ (4)×　向量a，a＋b，a－b共面，故不能作为基底． (5)√ 1．空间向量的线性运算类似于平面向量的线性运算． 2．用已知向量表示未知向量时，要正确理解向量加法、减法与数乘的几何意义，同时一定要结合图形，灵活运用三角形法则或平行四边形法则进行求解． [典例1] 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， [典例2] 如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的各个侧面均为平行四边形，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. 易错易误系列之(十八)　对向量夹角的定义认识不清致误 [温馨提示]　用定义计算两向量的数量积时，要正确确定两向量夹角的大小，特别是在与二面角结合的问题中，一定要分清向量的夹角与二面角大小的关系． [针对训练] 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________． 空间向量的数量积及其应用(☆☆☆☆) 学科素能 · 增分宝典 主干回顾·夯实基础 考点技法·全面突破 学科素能·增分宝典 第七章　立体几何 课时跟踪检测 第七章　立体几何 第六节　空间直角坐标系、 空间向量及其运算(理) 主干回顾 · 夯实基础 ______的向量 零向量 长度或模为___的向量 单位向量 在空间中，具有_____和_____的量叫做空间向量，其大小叫做向量的_____或___ 空间向量 定义 名称 大小 方向 长度 模 1 模为0 平行于__________的向量，叫做共面向量 共面向量 表示空间向量的有向线段所在的直线_________或_____，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b 共线向量 方向______且模相等的向量 相反向量 方向_____且模相等的向量 相等向量 定义 名称 相同 相反 互相平行 重合 同一平面 a＝λb 1 a·b＝b·a a·(b＋c)＝a·b＋a·c λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(λ∈R) |a||b|cos〈a，b〉 a·b a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 a∥b?_______________________________(λ∈R) 共线 a·b＝______________________ 数量积 a－b＝_________________________ 向量差 a＋b＝_________________________ 向量和 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b为非零向量) (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 考点技法 · 全面突破 空间向量的线性运算(☆☆☆) 共线向量、共面向量定理的应用(☆☆☆) * * 主干回顾·夯实基础 考点技法·全面突破 学科素能·增分宝典 第七章　立体几何 课时跟踪检测