应用数值分析(第四版)课后习题答案第2章.doc

第二章习题解答 1.（1） Rn×n （2）Rn×n 设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。证明A-1 证明： （2）A是ｎ×ｎ的正交矩阵 A A-1 =A-1A=E 故（A-1）-1=A ∴A-1（A-1）-1=（A-1-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。 设A是非奇异的对称阵，证A-1 A非奇异 A可逆且A-1 又AT=A ∴（A-1）T=（AT-1=A-1 故A-1也是非奇异的对称阵 设A是单位上（下）三角阵。证A-1 证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1bij）n×n A A-1 =E，则 j＞i时， 故bnn=1, bni=0 (n≠j) 类似可得，bii=1 (j=1…n) bjk=0 (k＞j) A-1是单位上三角阵 综上所述可得。Rn×n中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。 2、试求齐次线行方程组Ax=0的基础解系。 A= A=～～～ 故齐次线行方程组Ax=0的基础解系为 3.求以下矩阵的特征值和特征向量。 A1= A2 解：A1=，|I- A1|== ， 解（1I- A）x=0 得 2I- A）x=0 得 4、已知矩阵A的行空间的基。 解： 5、已知矩阵，试计算A的谱半径。 解： 6、试证明，其中 。 7、在R4x=（1，2，1，1）TS=（12，3，4）下的坐标，其中1=（1，1，1，1）T 2=（1，1，-1，-1）T3=（1，-1，1，-1）T4=（1，-1，-1，1）T 解：由x=sy得 y-4=s-1x= 8、在，取基，求。 9、已知R3 S1={1，2，3}=，S2={1 ，2 ，3 }= 求从S1 到S2的过度矩阵； u=（2，1，2）T R3求u在S1 下的坐标和u在S2下的坐标。 A= S1-1S2= ② 对u=（2，1，2）T S1 下，由u=S1x可求出x= S1-1u= S2下，由u=S2x可求出x= S2-1u= 10. 已知A=dim(R(A)), dim(R(AT)), dim(N(A)). 解：A= dim(R(A))=dim(R(AT))=r(A)=2 dim(N(A))=n-r=4-2=2 11、已知A=span{1,ex,e-x},D=X上的线性变换，求 D关于基S1={1,2ex,3e-x}的矩阵A； D关于基S2={1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2}的矩阵B。 Dx=S1A,设A=[X（1），X（2），X（3）] D（1）=0，0= S1 X1）=0·1+0·2 ex+0·3e-x, X1）=(0,0,0)T D（ex= ex ,ex= S1 X（2）=0·1+2 ex+0·3e-x, X（2）=(0, ,0)T D（e-x= -e-x , -e-x = S1 X（3）=0·1+0·2 ex+3e-x, X（2）=(0, 0, )T D关于基S2={1,（ex+e-x/2，（ex-e-x/2}的矩阵B为 12、已知线性变换T：P2t）→P3t）,定义T为T（P（t））=T在基偶（S1={1,t,t2}, S2={1,t，t2/2,t3/3}）下的矩阵。 A，则有T S1 =S2A T（1）= T（t）= T（t2= 13、设A Rm×n,定义从Rn Rm的变换T为T：xRn y=Ax xRm 试证明T是线性变换。 ，有 故，由定义知，T是线性变换。 14、 已知R3S1=，R2中取基S2=。 线性变换T：R3→R2 定义为x=（x1 ，x2 ，x3）T R3，Tx=（x2 +x3 ，x1 +x3）T R2. T在（S1 ，S2）下的矩阵A； 设u=（2，-3，2）T R3u在S1 Tu在S2 解：① 由题知，T（S1）= S2A 对u=（2，-3，2）T在S1 下 可求出 S2下 由可求出 15、求由向量1=（1，2，1）T2=（1，-1，2）TR3的子空间X=span{1,2}的正交补 X垂直的向量的全体）。 解得 故 = 16、 试证明若{12，…，t}是内积空间H中不含零向量的正交向量组，则12，…，t必线性无关。 证明：假设存在使 作内积得 又（因 故 故1，2，…，t必线性无关。 17、计算下列向量的‖x‖x‖