应用数理统计00概率论知识回顾.ppt

引入列向量和矩阵 将此表达式推广到n维... 若n维随机向量X=(X1, X2 , ... , Xn )T的联合密度为 称 X 服从 n 维正态分布 记为 3. n 维正态分布 其中l为任意n维非零常数向量. n 维正态分布的性质 1）设 ，则 X的每个分量 Xi 也服从正态分布，且 且 其中L为任意m×n非零常数矩阵. 3） 且 则 则 X的各分量独立 （两两互不相关） （C为对角矩阵） 设 第0章 概率论知识 1 随机变量及其概率分布 2 数字特征 3 多维正态分布及其性质 4 大数定律与中心极限定理 1 大数定律 2 中心极限定理 4 大数定律与中心极限定理 1. 大数定律 大数定律的定义 切比晓夫大数定律 贝努里大数定律 辛钦大数定律 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. 问题的引入 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种是: 与 大数定律 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 …… 问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么 以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的 次数足够多，总可以达到要求的精度？ 这里反映了什么样的客观统计规律呢？ μ :工件的真实值 εk :本次测量误差 第k次测量结果 Xk= μ + εk n次测量的算术平均 即大量测量值的算术平均值具有稳定性。 这就是大数定律所阐述的结论。 εk :由于测量误差的均值一般为0 此处的极限不是通常的极限 定义 对任意 或 记为 条件？？ 定理1（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律) 频率的稳定性 即 关于贝努利定理的说明 1）当n很大时, 事件发生的频率与事件发生的概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率. 令 2）频率的稳定性是算数平均稳定性的特例。 定理2 （契比雪夫大数定律） 且具有相同的数学 期望及方差， 注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。 定理3（辛钦大数定律） 且具有数学期望 思考：比较辛钦大数定律与切比晓夫大数定律条件的  差别及强弱。 2 . 中心极限定理 定义 独立同分布的中心极限定理 德莫佛-拉普拉斯定理 有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成的，而其中每个别的因素作用都很小，这种随机变量往往服从或近似服从正态分布，或者说它的极限分布是正态分布，中心极限定理正是从数学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。 μ : 对象的真实值; Xk : 微小的随机因素的影响. 测量结果 U= μ + X1 + X2 + ... + Xn 大量的相互独立的随机因素的综合影响 为了消除量纲的影响，将其做中心化、标准化处理。 大量微小因素的综合影响，在经过中心化、标准化处理之后近似服从标准正态分布。 这就是中心极限定律所阐述的结论。 条件？？ 定义 定理1 （独立同分布的中心极限定理） 中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。 定理2（德莫佛-拉普拉斯定理） (De Moivre--Laplace) 推论： 说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率  计算方法。 　 (2)　若X为连续型随机变量，其分布密度为f (x )，则当 积分 绝对收敛时，有： 定理2　设 g(X,Y)是随机变量X,Y的函数 (1)若X,Y为离散型随机变量，其分布律为 当级数 绝对收敛时，则有： (2)　若X,Y为连续型随机变量，其分布密度为f (x,y )，则当 积分 绝对收敛时，有： 5） 数学期望的性质 假定所提及的数学期望均存在 , （a,b,c为常数） 特别 特别 可推广到多个情形... 3）设X, Y相互独立，则 一般：设X, Y相互独立，则 2.方 差 计算公式 注意！ 方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大, 表示X 取值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好. 方差的意义 1）方差的计算 计算公式 有用的公