建模论文：古塔变形.doc

数学实践与建模课程论 古塔的变形 摘要: 本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。 对于问题二，我们分别研究该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，通过建立数学模型来确定变形的程度。 首先，用各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。用古塔各层中心点进行平面拟合，从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题，由此也说明了我们所建模型的合理性。 古塔的倾斜变形必然会导致在同一层中，测点存在高程的绝对差h，如果古塔只存在倾斜变形的话，每层的h值会相等；如果古塔存在倾斜变形的同时也存在弯曲变形的话，则每层的h值会发生改变。所以相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。再根据每层出现高程绝对差h的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。 古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。 对于该塔的变形趋势的研究，将倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归。再用得到的回归方程预测未来几年的数据，结合用excel画出的图来预测古塔在未来时间里的变形趋势。 关键字：线性回归 变化趋势 拟合 预测 问题重述 由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。 某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。 请你们根据提供的4次观测数据，讨论以下问题： 1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。 2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3. 分析该塔的变形趋势。 二、问题分析 （一）、对问题一的分析 问题一中确定古塔各层中心位置的通用方法。因为古塔各层为近似正八边形，根据正八边形图形特征，可以用每次测量时，古塔各层测量点坐标的平均值作为各层中心点坐标。然后将各层中心点坐标对时间回归，可得到各层中心点坐标对时间的回归方程。根据方程就可以确任意时间各层中心点坐标。 （二）、对问题二的分析 问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。为了简化模型，我们分别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。对于倾斜，首先根据不同年份，各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。 对于古塔的弯曲，首先求出每层高程绝对差tih，然后相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。再根据每层出现高程绝对差tih,的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。 对于古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。 （三）、对问题三的分析 问题三要求我们分析该塔的变形趋势，这个问题属于预测的数学问题。对于这个问题我们一般用回归的方法来求解，得出倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归方程，并作出各自的图像，观察趋势。 模型假设 1.假设古塔只存在倾斜，弯曲，扭曲的三种变形情况； 2.假设在1986年到2011年没有对古塔进行人为的保护，如加固或修补； 3.忽略1986年与1996年观测的第13层第5个测量点所少数据； 4.假设古塔的变形是连续的； 四、符号说明 j：观测点； t：时间，并以1986年为第一年，即t=1； h：古塔同一层测点的最大高程差； △u：古塔相邻两层h值的差； λ：两对角线的夹角； α：古塔的倾斜角。 模型的建立与求解 5.1问题一的求解：为观察同层各观测点的大概位置，做出1986年古塔内同层观测点连线的俯视图进行分析，做出下图 图1-1 图1-1是通过1986年每层各测量点的坐标点连起来的（用CAD制）图，每层所测的点相交构成一个多边形，得到每层的近似平面图，可以近似地把每层当作正八边形。根据正八边形图形特征，古塔各层测