第四章高数课件何满喜第四章一元积分学习题课讲解.ppt

不定积分 第四章 习题课 定积分的定义 定积分的存在条件 微元法 (4)质心 极坐标情形 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 参数方程所表示的函数 平行截面面积为已知的立体的体积 (2) 体积 x y o (3) 平面曲线的弧长 A．曲线弧为 B．曲线弧为 C．曲线弧为 现有一均匀薄片,由曲线 , 及直线x=a,a=b所围成，且 .薄片的 面密度为常数 ，则其质心 为 (5)变力所作的功 (6)液体静压力 6.反常积分 (1)无穷限的反常积分 (2)无界函数的反常积分 （a为瑕点） （b为瑕点） 二、典型例题 例1 解 原式 例2 解 例3 解 例4 解 原式 例5 解 (倒代换) 例6 解 例7 解 例8 解 * 由杨艳制作 第四章 一元积分学 一、主要内容 二、典型例题 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 广义积分 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式 一、主要内容 1.定积分 定义 作和 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分和 积分上限 定积分的几何意义 定理2(可积的充分条件Ⅰ) 定理3(可积的充分条件Ⅱ) 定理1(可积的必要条件) 定积分的性质 规定: 性质1（线性性质） 性质2（积分区间可加性） 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 性质3 性质4（单调性） 推论 性质5（定积分中值定理） 积分中值公式 积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 2.不定积分 定义 设函数F (x)、 f (x)均定义在区间I上, F ?(x)= f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ， 则称函数F(x)是已知函数f (x)在区间I上的一个 若对 都有 原函数. 原函数 定理（原函数存在定理）连续函数一定存在原 函数. 即如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区 间I上必存在一个可导函数F(x)使得 不定积分的定义 定义 函数f(x)的所有原函数的一般表达式称为函数f(x)的不定积分，记作 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 (2) (1) 不定积分的性质 性质1 求不定积分运算与微分运算互为逆运算 性质2 性质3 基本不定积分公式 连续，则变上限积分函数 在 [a,b]上可导，且 3.微积分基本定理、基本公式 定理（微积分基本公式） 换元积分法 直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法. 4.积分的计算 定理（不定积分的第一类换元积分法） 设 则作变量代换 后，有 常见类型: 定理 (不定积分的第二类换元积分法) 设f(x)连续， 是单调的、可导的函数 且 ，若 ，则 常用代换: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数 满足条件: 则 且 定理（定积分的换元积分法） 换元必换限 、换限必对应，配元不换限. 分部积分法 选择u的有效方法: “反对幂三指” 几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 定义 两个多项式的商表示的函数称之. 真分式化为部分分式之和的待定系数法 四种类型分式的不定积分 此两积分都可积,后者有递推公式 ① ② ③ ④ （2） 三角函数有理式的积分 （3） 简单无理函数的积分 讨论类型： 解决方法： 作代换去掉根号． 微 元 法 理 论 依 据 名称释译 所求量 的特点 解 题 步 骤 定积分应用中的常用公式 5.定积分的应用 第一步 利用“化整为零, 以常代变”求出 微分表达式 第二步 利用“积零为整, 无限累加”求出 积分表达式 这种分析方法成为微元分析法，简称微元法. 整体量的精确值 局部量的近似值 定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 X型平面图形 Y型平面图形 * *