算法分析与设计第3章讲解.ppt

第3章 动态规划 学习要点: 理解动态规划算法的概念。 掌握动态规划算法的基本要素 （1）最优子结构性质 （2）重叠子问题性质 掌握设计动态规划算法的步骤。 (1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 (2)递归地定义最优值。 (3)以自底向上的方式计算出最优值。 (4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。 通过应用范例学习动态规划算法设计策略。 （1）矩阵连乘问题； （2）最长公共子序列； （3）最大子段和 （4）凸多边形最优三角剖分； （5）多边形游戏； （6）图像压缩； （7）电路布线； （8）流水作业调度； （9）背包问题； （10）最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树。 动态规划基本步骤 找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 递归地定义最优值。 以自底向上的方式计算出最优值。 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。 2．解题思路 这道题可以用动态规划成功地解决，但是，如果对问题的最优结构刻画得不恰当(即状态表示不合 适)，则无法使用动态规划。 ? 状态表示法一： 用一元组D(X)描述问题，D(X)表示从顶层到达第X 层的最小路径得分。因此，此问题就是求出D(N)(若 需要，还应求出最优路径)。这是一种很自然的想法 和表示方法。遗憾的是，这种描述方式并不能满足 最优子结构性质。因为D(X)的最优解(即最优路径) 可能不包含子问题例如D(X-1)的最优解。如下图所 示： ? 显然，D(4)＝2+6+1+1＝10 ，其最优解(路径)为 2-6-1-1。而D(3)＝2+2+4＝8 ，最优解(路径)为2-2-4。故D(4)的最优解不包含子问题D(3)的最优解。 由于不满足最优子结构性质，因而无法建立子问题 最优值之间的递归关系，也即无法使用动态规划。 ? 状态表示法二： 用二元组D(X,y)描述问题，D(X,y)表示从顶层到 达第X层第y个位置的最小路径得分。 最优子结构性质：容易看出，D(X,y)的最优路径 Path(X,y)一定包含子问题D(X-1,y)或D(X-1,y-1) 的最优路径。 否则，取D(X-1,y)和D(X-l,y-1)的最优路径中得 分小的那条路径加上第X层第y个位置构成的路径得 分必然小于Path(X,y)的得分，这与Path(X,y)的最 优性是矛盾的。 如上图所示，D(4,2)的最优路径为2-6-1-5，它 包含D(3,1)最优路径2-6-1。因此，用二元组 D(X,y)描述的计算D(X,y)的问题具有最优子结构 性质。 ? 状态表示法三： 采用状态表示法二的方法是从顶层开始，逐步向下至底层来求出原问题的解。事实上，还可以从相反的方向考虑。仍用二元组D(X,y)描述问题，D(X,y)表示从第X层第y个位置到达底层的最小路径得分。原问题的最小路径得分即为D(1,1)。 ? 最 优 子 结 构 性 质 ： 显 然 ， D(X,y) 的最优路径Path(X,y)一 定包含子问题D(X+1,y)或D(X+1,y+1)的最优路径，否则，取D(X+1,y)和D(X+1,y+1)的最优路径中得分小的那条路径加上第X层第y个位置构成的路径得分必然小于Path(X,y) 的得分，这与Path(X,y)的最优性矛盾。 动态规划算法的基本要素 二、重叠子问题 递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。 动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。 通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。 动态规划算法的基本要素 三、备忘录方法 备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。 int LookupChain(int i，int j) { if (m[i][j] 0) return m[i][j]; if (i == j) return 0; int u = LookupChain(i，i) + LookupChain(i+1，j) + p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j] = i; for (int k = i+1; k j; k++) { int t = LookupChain(i，k) + LookupChain(k+1，j) + p[i-1]*p[k]*p[j]; if (t u) { u = t; s[i][j] = k;} } m[i][j]