算法设计与分析_05NP完全问题-一些重要的概念讲解.ppt

算法设计与分析演示稿 纪玉波制作(C) 算法设计与分析 ——NP完全问题 一、一些重要的概念1、多项式时间算法和难解问题 不同的算法具有很不相同的时间复杂性函数，什么样的算法算作“效率高”，什么样的算法算作“效率低”，计算机科学家们公认一种简单的区别，这就是多顶式时间算法（polynomial time algorithm)和指数时间算法（exponential time algorithm)之间的区别。Cobham[1964］和Edmonds[1965］首先讨论了这种区别的基本性质。特别是Edmonds把多项式时间算法与“好的”算法等同看待，并且猜想某些整数规划问题可能不能用这种“好的”算法求解。这反映了一种观点，认为指数时间算法不应该算作“好的”算法。通常也的确是这样的。大多数指数时间算法只是穷举有哪些信誉好的足球投注网站法的变种，而多项式时间算法通常只有在对问题的结构有了某些比较深入的了解之后才有可能给出。艰多人都认为只有知道了问题的多项式时间算法才能认为“很好地解决了”这个问题。因此，如果一个问题困难到不可能用多项式时间算法求解，那末我们就认为这个问题是“难解的”。 2、可证的难解问题 最早证出的难解性问题结果是经典的图灵不可判定性。四十多年前，图灵证明某些问题困难到“不可判定的”程度，即根本不可能给出解这些问题的算法。例如，他证明不可能给出一个算法，当任意给定一个计算机程序和这个程序的输入时，该算法可以判定当把这个程序应用于这个输入时最终是否停机[Turing，1936]。现在已经知道还有各种其它问题也是不可判定的，这些问题包括有限表示群的平凡问题[Rabin，1958]，希尔伯特第十问题（整数多项式的可解性） [Matijasevic，1970］等。因为不可能用任何算法，当然更不可能用多项式时间算法解这些不可判定问题，所以它们的确是在特别强的意义下难解的。 3、NP完全问题 可以用“非确定型”计算机通过多项式时间算法求解的问题称为“NP类”问题。理论工作者们一方面继续寻找更有力的方法来证明问题的难解性，同时又在努力研究就难度而言各种问题相互联系的方式。发现问题之间的这种相互联系常常可以给算法设计人员提供有用的信息。证明两个问题相关的基本方法是通过给出一个构造性变换把第一个问题的任一实例映射到第二个问题的一个等价的实例，从而把第一个问题“归约”为第二个问题。这样的变换提供了一个手段，把解第二个问题的任何算法转变成解第一个问题的相应的算法。 总结 问题求解的难度： 不可判定问题 可判定的问题 时间复杂性为多项式的（P） 用不确定型计算机求解时间复杂性为多项式的（NP） NP完全类 * * 不过，有些指数时间算法在实际中可能十分有用。作为定义，时间复杂性是一种最坏情况的度量。时间复杂性为2n的算法仅仅表示至少有一个规模为n的问题实例需要这么多的运算时间，而大多数问题实例可能实际上需要远比这个少得多的时间。有几个著名的算法就是这种情况。已经证明线性规划的单纯形算法具有指数时间复杂性[Klee and Minty，1972］，但是在实际中它计算得很好，给人留下了深刻印象。同样，背包问题的分支界限算法虽然也具有指数时间复杂性，但是它是一种非常成功的算法，使得许多人认为背包问题已经很好地解决了。 遗憾的是，像这样的例子太少了。虽然对于很多问题都知道指数时间算法，但是只有少数几个被认为在实际中是很有用的。甚至上面提到的那几个成功的指数时间算法也没有使研究人员停止继续寻找这些问题的多项式时间算法的努力。实际上，这些算法的真正成功产生了一种猜疑，认为它们不知怎么地抓住了这些问题的关键性的性质，对这些性质的仔细研究可能给出更好的方法，至今在解释这种成功方面几乎毫无进展，也没有一种方法能够事先预言给定的指数时间算法在实际中能否快速运算。 另一方面，如果多项式时间算法满足对运算时间更严格得多的限制，就往往可以作出这种预言。虽然可以认为时间复杂性为n100或1099n2的算法在实际中不大可能快速运算，但是自然提出的多项式可解的问题大多数可用2次，或者在最坏的情况下用3次多项式时间算法求解，而且在多项式中不包含特别大的系数，可以认为满足这些限制的算法是“可证地有效”算法。正是这种特别需要的性质使我们优先考虑用多项式时间算法解决问题。 关于计算机模型的选择可以作类似的注释。至今研究过的所有实际的计算机模型，例如单带图灵机，多带图灵机以及随机存取机（RAM）都是相对于多项式时间复杂性等价的，人们可以指望任何其它“合理的”模型都享有这种等价性。这里所说的“合理的”概念在本质上是指在单位时间内可以完成的工作量有一个多项式界限。例如，不能认为具有完成任意多道并行运算能力的模型是“合理的“，而且也确实不存在一合计算机具有这种能力。无论如何，只