弹性力学-绪论.ppt

在工程上，有许多接触问题的实际例子。如机械中轴与轴承的接触，基础结构与地基的接触，坝体分缝处的接触等等。一般在接触边界的各部分，常常有不同的接触条件，难以用理论解表示。我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析。 接触问题 3. 有限值条件 图（a） 设图（a）中半径为r的圆盘受法向均布压力q作用，试求其解答。 有限值条件 引用轴对称问题的解答，并考虑边界  上的条件，上述问题还是难以得出解答。这时，我们可以考虑所谓有限值条件，即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值。而书中式(4-11)的应力表达式中，当 时， 和 中的第一、二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件， 当 时，必须有A=B=0。 有限值条件 在弹性力学问题中，我们是在区域内和边界上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件后，建立基本方程及其边界条件来进行求解的。一般地说，单值条件和有限值条件也是应该满足的，但是这些条件常常是自然满足的。而在下列的情形下须要进行校核： (1)按应力求解时，多连体中的位移单值条件。 有限值条件 在弹性力学的复变函数解法中，首先排除不符合单值条件和有限值条件的复变函数，从而缩小求解函数的范围，然后再根据其他条件进行求解。 (2)无应力集中现象时， 和 ，或 处的应力的有限值条件(因为正、负幂函数在这些点会成为无限大)。 有限值条件 思考题 试考虑有两套筒或三套筒互相接触时，如何求解？ 工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。 本节研究‘小孔口问题’，应符合 （1）孔口尺寸＜＜弹性体尺寸， 孔口引起的应力扰动局限于小范围内。 §4－8 圆孔的孔口应力集中 小孔口问题 （2）孔边距边界较远（＞1.5倍孔口尺寸） 孔口与边界不相互干扰。 　 当弹性体开孔时，在小孔口附近，将 发生应力集中现象。 小孔口问题 1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q， 图(a)。 双向受拉 内边界条件为， 将外边界改造成为圆边界，作 则有 利用圆环的轴对称解答，取 且R＞＞r，得应力解答： 双向受拉 2. 带小圆孔的矩形板， x, y向分别受拉压力 ，图(b)。 所以应力集中系数为2。 内边界条件为 最大应力发生在孔边， 作 圆，求出外边界条件为 双向受拉压 应用半逆解法求解（非轴对称问题）: 由边界条件， 假设 代入相容方程， 由 ~ 关系，假设 ，所以设 双向受拉压 除去 ，为欧拉方程，得解 由式 (d)，(e) 得 ，并求出应力。 双向受拉压 校核边界条件 (b) , (c) ，求出 A, B, C, D， 得应力解答： 在孔边 ， ，最大、最小应力为 ，应力集中系数为 。 双向受拉压 3.带小圆孔的矩形板，只受x向均布拉力q。 单向受拉 应用图示叠加原理（此时令 ） 得应力解答: 单向受拉 讨论： （1）孔边应力， 最大应力 3q ，最小应力-q。 单向受拉 得 同理，由 得 类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件， 得 应用相似的方法，可得到 2、已知 ，求 思考题 1、试导出法线与 轴夹角为 的面上的 应力分量表达式。 2、试导出式(4-8)。 轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。 轴对称应力问题： §4－5 轴对称应力和相应的位移 轴对称应力问题 应力数值轴对称-- 仅为 的函数， 应力方向轴对称-- 其中 相应的应力函数 ，所以 应力公式为： （1）相容方程 相容方程成为常微分方程，积分4次得 的通解， 的通解 (2) 应力通解：将式 (c) 代入式 (a)， 将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分， 应变通解：将应力(d)代入物理方程，得 对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。 (4)求对应的位移： 分开变量，两边均应等于同一常量F, 将 代入第三式， 由两个常微分方程， 其中 代入 ，得轴对称应力对应的位移通解， I，K—为x、y向的刚体平移， H —为绕o点的刚体转动角