弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答.ppt

§6-3 用代数多项式解平面问题（续5） 例6-1 给出函数 ，A 0 为已知常数。不计体力。 试求：(1) 验证函数 可否作应力函数； (2) 在图6-6所示矩形薄板的局边边界上对应着什么样 的边界面力，所设坐标如图所示。 3. 应力函数解法举例 解： 显然 满 足 双调和方程， 故可作应力函数。据艾 瑞应力函数式（6-14） 求应力分量为： §6-3 用代数多项式解平面问题（续6） 边界上对应的面力如右图所。 ①在左边界上： ②在右边界上： 值得注意的是: 同一个应力函数对于不同形状的物 体，或即便是对于同形状但选用不同的坐标系的物体，则对应 着不同的面力。 ③在上下两边界： -Ah §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 解 ： 利用应力函数法求解应力分量可得: 式中 。 例6-2 ： 设有一狭矩形截面悬 臂梁，在其自由端面上受切向 分布面力的作用，其合力为 P， 如 图6-9 所示。不计体力。 求梁的应力分量和位移。 §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 (1) 解: 将已知应力分量代入平面应力问题的物理方程（6-8）可得： 将式（1）第一式对x、第二式对y分别积分，得： (2) §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 为使上式成立，应有： (4) (5) 并且： 式中 f(y)、g(x) 均为待定函数。再将式（2）中的 u 和 v 代 人式（1）的第三式，有： (3) (6) 于是，由式（4） 可得： §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 (7) 积分常数 c、d、e 和 f ，可由式（5）和限制悬臂梁在 xOy 平 面内产生运动的三个约束条件来确定。 ①、② 两个约束条件如下，也即悬臂梁固定端截面中点 A 固定 不动，即： (8) 代入式（7）则可得： (9) 将式（6）代入式（2）得： §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 第三个约束条件是对点 A 转动的限制，可采用两种不同的 约束情况，分别讨论如下： A. 情况一 ：使过A点的水 平微线段固定不转动， 见右图， 此时有： 则由式（7）第二式得： §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 再代人式（5）和式（9）得： （10） （11） 将所求得常数 c、d、e 和 f 代入式（7）得： §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 故悬臂梁的挠曲线方程为： (12) 最大挠度发生在自由端 ( x=0 ) 处，其值为： (13) 此结果与材料力学的解答相同。 (14) 同时，由式（11）的第一式对 y 求导，有： §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 式（14）为 y 的二次函数，说明梁横截面不再保持为平面，梁右端截面的翘曲为： (15) 其翘曲形状如 右图 所示。 因： §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 所以A点处的剪应变为： (16) 情况二 ：使过A点的 铅垂微线段固定不转 动，见右图，此 时有： §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 则分别可求得积分常数 c、d、e 和 f 代人式（7）得到： (17) 于是，悬臂梁的挠曲线方程为： (18) 最大挠度为： (19) §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 将式（18）、式（19）与式（12）、式（13）相比较，可发现 式（18）、式（19）分别增加了： 挠曲线在 A 点处的斜率为： (20) 这是由于剪力的影响引起的弯曲变形。 (21) §6-4 悬臂梁一端受集中力作用 可见，梁端的固定方式不同，梁的位移也就不同。 应当指出，上述两种固定方式——A点单元体的某一边不转 动，客观上都是不可能实现的。实际情况是固定端截面不能自由 地发生翘曲，因而固定端附近的应力情况相当复杂。但由圣维南 原理可知，离固定端较远处的应力分布不受影响，故题目所求得 的离固定端较远处应力分量函数解答是正确的。 §６-５ 简支梁受均布载荷 要点 —— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 1. 应力函数的确定 (1) 分析： —— 主要由弯矩引起； —— 主要由剪力引起； ——由 q 引起（挤压应力）。 又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴　　不随 x 变化。 推得： (2) 由应力分量表达式确定应力函