弹性力学第十章 空间问题的解答.ppt

(b),(d)代入(a) 得 (10-15) 式(10-15)称为位移场的势函数分解式，或称Stokes 分解式。 对式(10-15)作散度和旋度运算，可得 (10-16) §10.3 拉梅应变势 式(10-15)给出了位移场既非无旋也非等容的一般情况下的分解式，若位移场是无旋的，则式(10-15)可简化为 (10-17) 将式(10-17)代入不计体力的拉梅方程 (10-18) 代入式（10-18）得 注意到： 由此可得： (10-19) 由于方程（10-19）的成立表示弹性体内各处的膨胀或收缩是均匀的，或者没有膨胀和收缩。能直接利用拉梅应变势求解的问题极少。 §10.4 齐次拉梅方程的通解 （一）布西内斯克-伽辽金通解 将： 第十章 空间问题的解答 目录 §10.1 基本方程的柱坐标和球坐标形式 §10.2 位移场的势函数分解 §10.3 拉梅应变势 §10.4 齐次拉梅方程的通解 §10.5 无限体内一点受集中力作用 §10.6 半无限体表面受法向集中力作用 在空间问题中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外部荷载，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 根据轴对称的特点，宜采用圆柱坐标 表示。若取对称轴为 z 轴，则轴对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是 ? 和 z 的函数，而与 坐标无关。 §１０-1 空间问题的基本方程 轴对称问题 轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。 ρ 例如：受轴对称荷载的厚壁筒、回转圆盘、无限体 或半无限体受集中力等 柱坐标： 描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标 柱坐标系 ? ? x y z 0 P 与直角坐标的关系： z φ ρ dρ dφ 用相距 的两个圆柱面，互成 的两个铅垂面及相距 的两个水平面，从弹性体内取一个微小六面体 沿ρ方向的正应力 径向正应力, 环向正应力,沿?方向的正应力 轴向正应力,沿z方向的正应力 作用在圆柱面上而沿z方向作用的剪应力 作用在水平面上而沿ρ方向作用的剪应力 从轴对称物体中取出图示的单元体 一、轴对称问题的应力分量与体力分量的表示 由于对称性， φ ρ dρ dφ 并且环向体力分量为零 φ dφ ρ ρ φ φ ρ dρ 应变分量： 径向正应变 环向正应变 轴向正应变 剪应变： 位移分量： 径向位移 环向位移 轴向位移 基本未知量： 共10个 二、轴对称问题的平衡微分方程: 取图示微元体。由于轴对称，在微元体的两个圆柱面上，只有正应力和轴向剪应力；在两个水平面上只有正应力和径向剪应力；在两个垂直面上只有环向正应力，如图示。 根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。 注意：此时环向正应力的增量为零。 0 y z x 0 x y z ρ φ φ dφ ρ ρ φ φ ρ dρ φ dφ ρ ρ φ φ ρ dρ 根据ρ方向的平衡 利用 可得: 经约简并略去高阶微量，得： 根据z方向的平衡，可得: 0 y z x 化简后得到: 空间轴对称问题的平衡方程为: 三 、几何方程 通过与平面问题及极坐标中同样的分析，由径向位移引起的形变分量为： 由于对称，各点环向位移为零，由径向位移产生的应变为 由轴向位移w产生的应变为 迭加得到几何方程 四 物理方程 由于圆柱坐标，是和直角坐标一样的正交坐标，所以可直接根据虎克定律得物理方程： 应力分量用形变分量表示的物理方程： 其中： 例题：设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z = h处w =0。 解: 位移法求解空间问题的方程为： 1、 由于任意铅直平面都是对称面，假设 z R z x y q 2、 将(2)代入， 可见中的前二式自然满足，而第三式成为 化简后，积分以后得： 上式中的A，B是任意常数，根据边界条件决定。 即 3、将(5)代入弹性方程(6)得： 在本问题的边界上: R z x y q 应力边界条件为: 前二式自然满足，而第三式要求: 4、由应力边界条件确定A 得: 5、决定常数B，利用给定的位移条件: 得铅直位移: R z x y q h 6、分析： 1）本问题的工程背景是地面受大面积堆载作用下 的应力和位移分析。由： 可得侧压力系数： 2）本题也可按轴对称问题计算： 取 求得： 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素，都对