第8讲:外测度解析.ppt

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第8讲:外测度解析

第8讲 外测度 目的:懂得如何从长方体的体积概念导出 外测度概念,了解外测度与体积概 念的异同。 重点与难点:外测度的定义,不可测集的 存在性。 正如引言中所说,要研究一般函数的积分,首先要建立一般集合的“长度”概念,这一工作可以追溯到19世纪人们关于容量的研究,其中具有代表性的人物是Peano(皮严诺)、Jordon(约当)以及Lebesgue的老师Borel(波雷尔)。然而,Lebesgue的工作替代了十九世纪的创造,特别是他改进了Borel的测度论。 第8讲 外测度 一.外测度的定义 问题1:回忆平面内的面积、3维空间中 长方体的体积概念,如何定义n 维空间中长方体的体积? 问题2:有限个互不相交的长方体之并的 体积是什么? 问题3:回忆Riemann积分的定义及其几何 意义,由此启发我们如何定义一般 集合的“面积”或“体积”? 众所周知,在 中,开矩形 的面积为 ,在 中,开长方体 的体积为 。很自然地,我们也称 中的开集 为开长方体,并定义其体积为 如果 是一个一般的集合怎么办呢?熟 悉Riemann积分的人可能比较自然地会想 到,用一些长方体去分割它,然后以长方体 的体积之和近似代替 的体积。但值得注意 的是,由于 是一般的集合,它可能不含任 何开长方体,例如若 是有理数 集,它不可能充满任何长方体。因此,我们不能象Riemann积分那样企图采用长方体内外来挤的办法来定义一般集合的“长度”。尽管如此,Riemann积分的思想还是给了我们极大的启示,它依然是我们的出发点,只不过具体做法稍不同。 定义1 设 是 的点集, 是 中的一列开长方体, ,则 确定一个非负的数 (或 )。记 称 为 的Lebesgue外测度。 二. 外测度的性质 问题4:回忆Riemann积分具有什么性 质,由此猜测外测度应具有什么 性质? 应该注意到,由于没有假定 是有界集,所 以 有可能是 ,就象 的长度 是 一样。 由于在 中任意平移一个长方体并不 改变其体积,所以外测度也具有平移不变 性,此外外测度还有如下几个基本性质: 性质1 。 性质2 若 , 则 。 性质3 。 问题5:Riemann积分具有有限可加性, 两个互不相交的集合之并的外测 度是否为这两个集合的外测度之 和?为什么? 性质1是显而易见的。如果注意到当 时,凡是能盖住 的开长方体序列一定也能盖住 , 则由外测度定义很容易得到 。事实上, 盖住 的开长方体序列的全体比盖住 的开长方体序列全体更多。 为证性质3,可采用如下办法,对任意 ,由外测度定义知,对每个 ,存在开长方体序列 ,满足 从而 ,且 于是 由 的任意性知 。 看起来似乎外测度概念推广了通常的体 积概念,我们所期待的问题已经解决,但 是,当我们完成了在某个原始概念基础上推 广或建立一个新的概念后,首先必须回过头 来审查一下这一概念是否具有合理性,所谓 合理性就应包括下面两个方面的问题:

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