红利12-7傅立叶级数讲解.ppt

定理3 (收敛定理,狄利克雷( Dirichlet )充分条件) 设 f (x) 是周期为2?的 周期函数, 若其满足 : 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点 其中 为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点 注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多. 例1. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 上的表达式为 解: 先求傅里叶系数 将 f (x) 展成傅里叶级数. 1) 根据收敛定理可知, 时,级数收敛于 2) 傅氏级数的部分和逼近 说明: f (x) 的情况见右图.（矩形波的由来） 例2. 上的表达式为 将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 说明: 当 时, 级数收敛于 周期延拓 傅里叶展开 上的傅里叶级数 定义在[–? ,?]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法 其它 例3. 将函数 级数. 则 解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶 2?为周期的函数 F(x) , 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得 说明: 设 已知 又 三、正弦级数和余弦级数 1. 周期为2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2? 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 周期为2?的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 , 它的傅里叶系数为 正弦级数, 它的傅里叶系数为 例4. 设 的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数. 是周期为2? 的周期函数,它在 解: 若不计 周期为 2? 的奇函数, 因此 根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数: 2. 在[0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数 周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ? ] 上展成 周期延拓 F (x) 余弦级数 奇延拓 偶延拓 正弦级数 f (x) 在 [0 , ? ]上展成 例6. 将函数 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 注意: 在端点 x = 0, ? , 级数的和为0 , 与给定函数 因此得 f (x) = x + 1 的值不同. 再求余弦级数. 将 则有 作偶周期延拓 , 说明: 令 x = 0 可得 即 小结 1. 周期为 2? 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中 注意: 若 为间断点, 则级数收敛于 2. 周期为 2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 3. 在 [ 0 , ? ] 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 1. 在 [ 0 , ? ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ? 答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 . 思考题 处收敛于 2. 则它的傅里叶级数在 在 处收敛于 . 提示: 设周期函数在一个周期内的表达式为 , 作 业 P316： 4；6；7（2） 3. 设 又设 求当 的表达式 . 解: 由题设可知应对 作奇延拓: 由周期性: 为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域 4. 写出函数 傅氏级数的和函数. 答案: 例5. 将周期函数 展成傅里叶级数, 其 中E 为正常数 . 解: 是周期为2? 的 周期偶函数 , 因此 由此定理可以看出 , 函数展成傅立叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多. 这正是傅立叶级数具有广泛应用的重要原因 . 运行时, 点击相片, 或按钮“简介”, 可显示狄利克雷的简介, 并自动返回. 12-7 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 令 得函数项级数 ?为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 二、函数展开成傅里叶级数 假设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 且能展成三角级数 问题： ① 系数 与f(x)之间是什么关系？可否用f表示？ 假定右端三角级数可逐项积分： 二、函数展开成傅里叶级数 假设 f (x) 是周期为 2? 的周期