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玩玩单位分数 Yutaka Nishiyama 关键词：?分数，完美数 数1可以写成单位分数之和，即分子为1的分数之和。例如， 两边同乘以6，得到 这就证明前一等式成立。 这样的分数分解最多可以含多少项，前提是没有重复的单位分数？大约二十年前我就开始思考这个问题。我决定只考虑分母只有两位数的单位分数，换句话说，分母不大于99。 通过反复试验，我设法找到了符合条件的42项和。我还不能确定42是最大可能的项数，所以我期待着看到43项分解。 在这篇文章中，我想表明怎样发现这42项解的。这是一个有趣的问题，所以对数字有兴趣的读者不妨在阅读前先试试身手，然后比较我们各自的解。 从完美数开始 一个自然数m称为完美数，如果它的因子（包括1，但不包括m）的总和等于本身。作为一个例子，6是一个完美数（如你可以在上面看到）。28也是，其因子为14，7，4，2和1，且满足 等式两边除以28产生一个有五项单位分数的单位分解： 有许多其他的完美数（例如，496，81288589869056）。虽然我们同样可以如上法分解这些数，但每一个分母必须是小于或等于99的条件限制了可用数的范围。例如496就不行，因为它的两个因子有三位： 因此，让我们把完美数放在一边，并采取另一种方法。显然，我们可以通过把每个单位分数分解成单位分数之和的方式使得1的单位分数的和式加长。例如， 下面我们把分解方法推广成五个规则。 规则1：分解成两项 让我们看看一个单位分数1/n如何被分解成两个不同的单位分数。假设单位分数的分母n可以分解成a乘以b，其中a和b可以为1。这样就可以分解成两个单位分数如下： 例如，对于单位分数1/30，我们有n=30，它可以被分解为30=5×6。因此， 我们可以重复这个以创建尽可能多的分解。这样对1/3和1/6做的结果是 用手工这样做相对简单，但也可以使用软件以加快过程。 规则2：分解成n项 单位分数1/a的分母乘上n则将此单位分数分解为n个分母为n×a的单位分数之和： 用n=2和n=3的例子就有 规则3：用另一法分解成两项 在1/a按标准方法分解为两项后，每项单位分数的分母乘上n，形成一个1/(n×a)的分解。 例如， 规则4：分解成三项 现在让我们考虑如何将一个单位分数分解成三项。这样做的关键是找到三个数a，b，c，使得它们的最小公倍数是分母m。然后，我们将它们的和a+b+c乘到原单位分数的分子和分母上。 因为a，b，c的最小公倍数是m，我们知道它们中的每一个都能整除m。换言之，a/m，b/m，c/m都为单位分数，它们被a+b+c除后还将是单位分数。 让我们取1/12为例。以12作为最小公倍数的三个数是3，4，6，其和为3+4+6=13。我们因此于1/12的分子分母各乘上3+4+6，由上面的公式我们有： 另三个以12作为最小公倍数的数是2，4，6。这时和为 2+4+6=12。所以同理可得到： 规则5：两项组成一项 偶尔在构造单位分数和时，有时可用一个有更多可能性的单位分数来取代现有的两个单位分数。例如，给出两项分解 我们可以通过对调左右边来产生一个两项组合 使用这五条规则，我发现了1的42项不同单位分数的分解。本文的后面你可以看到它。 两三项的重复分解和组成以找到越来越长的总和等于1的式子是打发时间的一个很好方式。但是我们能走多远？一点点积分知识告诉我们最高项数必须不超过62。（如果你不熟悉微积分，可以跳过这一节。） 最多62项 我们将比较单位分数的和与函数f(x)=1/x的积分。下图显示在x=1和x=n之间的函数（这里我们取n为大于1的自然数）。显然，图中所示的矩形区域的总和比这两点间的曲线和x轴，x=1,x=n所组成的曲边矩形的面积较大。 每个矩形水平边长1。第一个矩形的垂直边长f(1)=1，第二个矩形的垂直边长f(2)=1/2，第三个矩形的垂直边长f(3)=1/3。继续下去，我们看到第i个矩形的垂直边长f(i)=1/i。总共有n-1个矩形。 因而，这些矩形的面积和为 将它与等于f(x)在x=1和x=n之间的积分的在x=1和x=n之间曲线下的面积比较，就有 下图显示同样的曲线，这一次画的矩形面积总和小于曲线下的面积。 这里第i个矩形的垂直边长1/(i+1)，故面积之和为 这给出 将上面的两个不等式合并就有 简单推理可得出： 因为上面的积分值为，我们有 假如我们想要产生尽可能长但不大于1的单位分数和，最好使用大分母的分数：分母越大，分数越小，在到达和为1之前就能加上更多的项。因此我们不再注视从1到1/n的和，而是让我们看看从1/n到1/99的和： 然后我们看在和变得大于1之前n能取多小。 上面用来构造不等式的论点在把