线性方程组的迭代方法讲解.ppt

例6.6 用Jacobi迭代法，G-S迭代法解下述方程组 精确解 （1） 迭代公式： 其中， ，计算结果见表6-1。 表6-1 且有 其中， , （2）G-S迭代公式 且有 由此例看出，用 G-S迭代法解此方程组比用Jacobi方法解此Ax=b收敛快（即在初始向量 相同，达到同样精度，所需迭代次数较少），这个结论只当A满足一定条件时才是对的。有些方程组,用J-迭代法收敛，而用G-S迭代法却是发散的。例如P李259习题6中2（b）。 注： 计算结果见:表6-2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式供计算编程用，它们 的矩阵形式供研究迭代序列是否收敛等理论分析用。 小结： Jacobi 迭代法 Gauss-Seidel 迭代法 矩阵形式 分量形式 矩阵形式 分量形式 6. 4 超松弛迭代法（SOR方法） 使用迭代法的困难在于难以估计其计算量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐次超松弛迭代（Successive Over Relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞德尔迭代的一种加速方法。 1超松弛迭代法的基本思想 超松弛迭代法目的是为了提高迭代法的收敛速度，在高斯—塞德尔迭代公式的基础上作一些修改。这种方法是将前一步的结果 与高斯-塞德尔迭代方法的迭代值 适当加权平均，期望获得更好的近似值 。是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，有着广泛的应用。 其具体计算公式如下： ⑴　用高斯—塞德尔迭代法定义辅助量。 ⑵　把 取为 与 的加权平均，即 合并表示为： 式中系数ω称为松弛因子，当ω=1时，便为高斯-塞德尔迭代法。为了保证迭代过程收敛，要求0ω 2。 当0ω 1时，低松弛法；当1ω 2时称为超松弛法。但通常统称为超松弛法(SOR) 2 超松弛迭代法的矩阵表示 设线性方程组 的系数矩阵A非奇异,且主对角元素 ,则将A分裂成A=D-L-U, 则超松弛迭代公式用矩阵表示为 或 故 显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 )于是超松弛迭代公式为 例** 用SOR法求解线性方程组 取ω=1.46，要求 解：SOR迭代公式 k = 0,1,2,…， 初值 该方程组的精确解 只需迭代20次便可达到精度要求. 如果取ω=1(即高斯—塞德尔迭代法)和同一初值 ,要达到同样精度, 需要迭代110次. 6.3 迭代法的收敛性 我们知道, 对于给定的方程组可以构造成简单迭代公式、雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式和超松弛迭代公式，但并非一定收敛。现在分析它们的收敛性。 对于方程组 经过等价变换构造出的等价方程组 在什么条件下迭代序列 收敛？ 　　　如果　　　　　　　　　　　　　，当　　 时　　　　　 存在极限 则称迭代法 是收敛的，否则就是发散的。 收敛时，在迭代公式 中当 时， ,则 , 故 是方程组 的解。 从而 由此可见当　　　　时，如果　　　　，那么　　　　　，从而　　 反过来，如果　　　　　(　　　)，那么由　　的任意性，　 定理1 对任意的初始向量　　迭代公式 收敛 的充分必要条件是　　　 . 　　不过，对过判别　　是否趋于零，运算量很大．实际上，利用Ｂ的约当标准型，可以证明下面的定理． 定理2　　 迭代公式 　　　　　　　收敛 的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径　　　　　． 　　由此定理可知，不论是雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法还是超松弛迭代法，它们收敛的充要条件是其迭代矩阵的谱半径 。 有时实际判别一个迭代法是否收敛，条件 是很难检验的。而 一些矩阵范数