线性控制理论第4章控制系统的稳定性讲解.ppt

* 上式可化简为 于是可得 解出 * 即 要使P为正定的实对称矩阵，则要求 * ， 以上说明，当系统的特征根位于单位圆内时，系统的平衡点处才是大范围渐近稳定的。显然，这一结论与经典理论中采样系统稳定判据结论一致。 * 例 试求线性离散时间系统在平衡状态系统渐近稳定的值范围。 若要系统在平衡状态系统渐近稳定，则P必为正定矩阵，应有 解 令Q=I，得李氏方程 解此方程得 * 2. 线性时变离散系统 1）渐近稳定的判断方法 定理4-18 设线性时变离散系统方程为 系统在 平衡处是大范围内一致渐近稳定的充要条件是：对于任意给定连续实对称、一致有界和一致正定的时变矩阵Q(k)，存在一个连续的实对称、一致有界和一致正定的矩阵P(k+1)，使得 （4-64） * （4-65） 成立，且标量函数 （4-65） 即为系统的李氏函数。 证明 只证明充分性。设选取李氏函数为 式中，P(k)必为正定的，且是时间的函数。 取李氏函数的一阶差分为 * 故 由渐近稳定的条件要求，当P(k)0正定时， 必须是正定的，才能使下式 为负定。 * 2）判断的一般步骤 （1）确定系统的平衡状态； （2）任选正定对称矩阵 ，代入矩阵方程 解出矩阵 。 以上为矩阵差分方程，其解的形式为 （4-67） * 式中，P(0)—初始条件；G(i, k+1)—转移矩阵。 当Q(i)＝I时，有 （3）判断P(k+1)的正定性，若正定，则系统是渐近稳定的，且李氏函数为 （4-68） * 4.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 在线性系统中，如果平衡状态是局部渐近稳定的，那么它在大范围内也是渐近稳定的。局部不稳定的平衡状态必然也是在大范围内不稳定的。 在非线性系统中，在大范围内不是渐近稳定的平衡状态却可能是局部稳定的。局部不稳定的状态并不能说明系统就是不稳定的。 * 对于线性系统，有求李雅普诺夫函数的方法，但对于非线性系统，尚无统一的求李雅普诺夫函数的方法。 人们针对非线性的多样性，具体问题具体处理，研究出许多建立在李雅普诺夫第二法基础上的判断稳定性的特殊方法，给出了一些非线性系统构造李氏函数的方法。 * 将式（4-51）代入中，即 这说明满足矩阵方程（4-49）的 存在。 * 证明P 阵的正定性 因Q为对称的正定阵，故 为正定函数，则有 。 所以， P为正定阵。 * 证明P 阵的对称性， 当Q对称的正定阵，有 故P为对称阵。 * 证明P阵的惟一性 设 是 的任意解，则 成立。 故在系统稳定的前提下，任给 ，满足 矩阵方程的正定对称惟一的阵是存在的，必要性证毕。 * 需要着重指出： （1）如果任取一个正定矩阵Q，则满足矩阵方程 的实对称矩阵P是惟一的，若P是正定的，系统在平衡状态 =0是渐近稳定的。P的正定性是一个充要条件。 （2）如果 沿任意一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定，结论不变。 （3）为计算方便，在选用正定实对称矩阵Q时，常取Q=I，于是矩阵P可按下式确定 然后检验P是不是正定的。 * 2）判断的一般步骤 定理4-15的内容给出了构造线性定常系统渐近稳定的李氏函数的通用方法： （1）确定系统的平衡状态。 （2）取正定矩阵 ，且设实对称阵P为以下形式： * （3）解矩阵方程 ，求出P。 （4）利用赛尔维斯特判据，判断P的正定性。若P0，正定，系统渐近稳定，且 * 注意 1.是充要条件； 2.对正定对称矩阵Q ， 判决结果与型式选择无关，可取Q = I，即 4