必修五教材正余弦定理与数列(教师版).doc

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必修五教材正余弦定理与数列(教师版)

必修五 正弦定理 一.课题导入 如图1.1-1,固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点C转动。 思考:C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二.讲授新课 探索研究 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。 如图,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有,,又, 则 从而在直角三角形ABC中, 思考1:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,(1)当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=,则, C 同理可得, 从而 (2)当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导) 思考2:还有其方法吗? 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这问题。 证法二:过点A作单位向量,由向量的加法可得 则 ∴ ∴,即 同理,过点C作,可得 从而 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 理解定理 (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数, 即存在正数k使,,; (2)等价于,, 思考:正弦定理的基本作用是什么? ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 三角形面积公式,S=absinC=bcsinA, S=acsinB 三.例题分析 例1.中,A、B的对边分别是,且( ) A. B. C. D.不能确定 例2、在△ABC中,a=,b=,B=45°,则A等于( ) A.30° B.60° C.60°或120° D. 30°或150° 例3.在中,若,则的形状是, ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 例4.在中,若,则的形状一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 例5.在△ABC中,周长为7.5cm,且sinA:sinB:sinC=4:5:6,下列结论: ① ② ③ ④ 其中成立的个数是 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3 例6:在中,已知下列条件解三角形。 (1),,, (2),, 例7:在中,内角对边的边长分别是,已知,.若的面积等于,求;若,求的面积. ,则 。 2.已知,在△ABC中,A=45°,C=30°,c=10cm,求a、b和B。 3.在△ABC中,已知,,B=45( 求A、C及c 思考题: 在ABC中,,这个k与ABC有什么关系? 2.在中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( ) A. b=10, A=450, C=600 B. a=14, b=16, A=450 C. a=7, b=5, A=600 D. a=6, c=5, B=600 五.课时小结(由学生归纳总结) 1.定理的表示形式:; 或,, 2.正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。 3.三角形面积公式,S=absinC=bcsinA, S=acsinB 正弦在△ABC中,AB=,AC=1,B=,sinC 2.在△中,若,求 3、已知 ,求a、b

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