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结构力学课件2016讲解
§4-2 三铰拱的内力计算 三铰拱的构造及各部名称,及相应于拱的简支梁(相应简支梁)。 一、 三铰拱的支座反力(一)、三铰拱的支座反力 三铰拱的支座反力和三铰刚架支座反力的计算方法完全相同,即以其中两个铰分别建立力矩平衡方程,集中计算剩下的一个铰的两个约束力的方法。 当三铰拱的两个底铰在一条水平线上时,其支座反力的计算常采取如下步骤: 1、由拱的整体平衡条件求两个竖向支座反力;2、由拱顶铰C任一侧的平衡条件,求在这一侧上的水平支座反力;3、再由拱的整体平衡条件,求另一水平支座反力。 1、∑MA=0 FByl–FP1a1–FP2a2–FP3a3 =0FBy=(FP1a1+FP2a2+FP3a3)/l (↑) (a) ∑MB=0 FAyl– FP1b1–FP2b2FP3b3=0FAy=(FP1b1+FP2b2+FP3b3)/l (↑) (b)2、∑MC=0 FByl2–FBxf –FP3(l2–b3)=0FBx=[FByl2–FP3(l2–b3)]/f (←) (c)3、∑Fx=0 FBx–FAx=0 FAx=FBx=FH (d) ? 说明:上述计算底铰在一条水平线上的三铰拱支座反力的方法和步骤,适用于任意荷载作用下的情况。但两个底铰的水平反力相同仅是在只有竖向荷载作用的情况下。(二)、三铰拱与相应简支梁的几个关系式: 相应简支梁,指与拱的跨度、荷载相同的简支梁。容易得知三铰拱与相应简支梁的如下几个关系式:FAy = F0Ay FBy= F0By FH=M0C/f 。 (4-2-1) 这三个关系式仅在只有竖向荷载作用下成立。 由第三式分析,在拱上作用的荷载和拱的跨度不变的条件下,M0C是一个常数,FH与 f 得出,拱的推力FH与它的高跨比 f / l 有关,即当高跨比f / l越小(越大), 则水平推力FH越大(越小)。 二、拱的内力计算 拱的任一截面上一般有三个内力(M, FQ, FN),内力计算的基本方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时,截面法线角度不断改变,截面上内力(FQ , FN)的方向也相应改变。例4-2-1 已知图示三铰拱的拱轴方程为y(x)=4fx(l-x)/l2 ,求支座反力及K截面的内力。解:(1)求支座反力由拱的整体平衡条件:∑MA = 0 FBy×16 –10×12 –2×8×4 = 0 FBy = 11.5 kN (↑) ∑MB = 0 FAy×16 –10×4 –2×8×12 = 0 FAy = 14.5 kN (↑) 取铰C以右部分的平衡条件: ∑MC = 0 FH ×4–FBy×8 + 10×4 = 0 FH = 13 kN (←) (2)求K截面的内力 取K截面以左部分:截面各内力均按正方向画(注意:规定拱的轴力以受压为正;剪力和弯矩的规定仍同前)。 确定K截面位置参数yK和αK: 将K截面坐标 x = 4m 代入: y(x)=4fx(l-x)/l2和tanαK=dy/dx=4f(l-2x)/l2 得: yK=3m tanαK=0.5 则有: αK=26.57° sinαK=0.447 cosαK =0.894建立隔离体的平衡方程,求K截面的内力: 以截面K的外法线n和切向τ的方向分别建立投影方程,求FNK和FQK: ∑Fn=0 FNK–(14.5–2×4)sinαK –13cosαK=0 FNK = 14.528 kN ( FNK = F0QK sinαK +FHcosαK) ∑Fτ=0 FQK–(14.5–2×4)cosαK+13sinαK=0 FQK = 0 ( FQK = F0QKcosαK–FH sinαK) 以K点为矩心的力矩平衡方程,求MK: ∑MK=0 MK + 2×4×2 + 13×3–14.5×4 = 0 得: MK = 3 kNm ( 下侧受拉 )
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