振动理论及应用期末复习题题.doc

2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB 的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角： 系统动能： m1动能： m2动能： m3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： 上式求导，得系统的微分方程为： 固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x＝0，此时系统的势能为零。 物体B动能： 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有： 上式求导得系统的运动微分方程： 固有频率为： 第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解： 系统为二自由度系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为： 系统质量矩阵为： 系统动力学方程为： 频率方程为： 解出系统2个固有频率： ， 2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。 解： 系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和x2为系统的广义坐标。 当x1＝1，x2＝0时，AD转角为，两个弹簧处的弹性力分别为和。对D点取力矩平衡，有：；另外有。 同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得： ， 因此，系统刚度矩阵为： 系统质量矩阵为： 系统动力学方程为： 频率方程为： 即： 第三题（20分） 在图示振动系统中，已知：物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1= k3=k4= k0，又k2=2 k0，求系统固有频率；（3）取k0 =1，m1=8/9，m2 =1，系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。 解： （1）系统可以简化为二自由度振动系统。 当x1＝1，x2＝0时，有： k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为： 系统质量矩阵为： 系统动力学方程为： （2）当，时，运动微分方程用矩阵表示为： 频率方程为： 求得： （3）当k0=1，m1=8/9，m2 =1时，系统质量阵： 系统刚度阵： 固有频率为： ， 主模态矩阵为： 主质量阵： 主刚度阵： 模态空间初始条件： ， 模态响应： ， 即： ， 因此有： 第四题（20分） 一匀质杆质量为m，长度为L，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k1和k2。杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x和为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L=1，k1 =1，k2 =3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率为多少时，能够使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动？ 解： （1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、?为广义坐标，??为刚杆的角位移，如图示。 、时： ， 当、时： ， 因此，刚度矩阵为： 质量矩阵为： 系统动力学方程： （2）当m=12，L=，k1 =1，k2 =3时，系统动力学方程为： 频率方程为： 即： 求得： （3）令，代入上述动力学方程，有： 由第二行方程，解得，代入第一行的方程，有： ， 要使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动，则需，因此。 第五题（20分） 如图所