数值分析 李庆扬 第1章 绪论.ppt

* * 措施： ① 公式变换； ② 利用泰勒公式级数展开； ③ 增加有效数字位数等。 变换公式： * * （3）要防止大数“吃掉”小数 例如：在 5 位十进制计算机上计算 ， 其中 。 解： 结果：计算时因对阶，大数吃掉了小数，结果不可靠。 措施：改变运算方法。 * * （4）注意简化计算步骤，减少运算次数 好处：① 节省计算时间； ② 减少舍入误差。 例如： 只需进行14次乘法运算即可。 又如： 《数值分析》 黄龙主讲 * * 数值分析 （第5版） 李庆扬 王能超 易大义 编 清华大学出版社 2008年12月 * * 第1章 数值分析与科学计算引论 1.1 数值分析的对象、作用与特点 1 基本概念 数值分析： 又称数值计算方法、计算方法， 研究用计算机求解数学问题的方法和理论。 说明： ① 尽管计算机功能强大，但只能进行基本运算。 例如：加减乘除四则运算、基本逻辑运算。 ② 数值运算：用四则运算，求解复杂数学问题。 即将数学问题分解成简单运算，并对运算顺序进行描述。 * * ③ 数学问题：函数的数值逼近、数值微分与数值积分、 非线性方程数值解、数值线性代数、 常微分方程和偏微分方程数值求解。 2 计算机解决科学计算问题的过程 ① 提出实际问题； 例如：太阳晒透墙壁问题。 ② 建立数学模型； 建立：热量传递的微分方程。 ③ 应用数值计算； 给出：数值求解的过程描述。 ④ 设计程序； 应用：计算机语言，设计程序。 ⑤ 上机计算结果。 分析：所得结果。 * * 3 数值分析特点 ① 面向计算机； 算法中只能包括加、减、乘、除和逻辑运算，可实现有效。 ② 有可靠的理论分析； 达到精度要求，进行误差分析，保证收敛，具有数值稳定性。 ③ 要有好的计算复杂性； 节省时间，节省储存量——时间、空间复杂性。 ④ 有数值实验； 在计算机上可实现，并由实际验证有效。 常用数学工具软件：Maple、Matlab、Mathematica 等。 * * 1.2 数值计算的误差 数值计算方法常采用近似计算的方法求解问题，因而存在误差。 ① 模型误差：描述误差（公式、方程）； 建立数学模型时，忽略了次要因素，方程近似。 例如：自由落体运动 ，忽略了空气阻力。 ② 观测误差：测量误差（参数、常量）； 数学模型中各个参数需通过实验观测得到。 例如：自由落体运动 ， 的观测。 1 误差来源与分类 * * ③ 截断误差：方法误差； 数值计算的近似解与精确解之间的误差。 例如：用无穷级数近似表示函数 准确解： 近似解： 截断误差： ， 在 与 之间 * * ④ 舍入误差： 计算机计算数字时，有字长（位数）限制， 超过字长，要进行“四舍五入”，多次舍入产生较大误差。 例如： ， 注意：数值计算中，只研究截断误差和舍入误差。 * * 定义1 设 为准确值， 为 的一个近似值 称 为近似值的绝对误差。 2 误差与有效数字 注意：① 有正负； ， 强近似 ； ， 弱近似 ； ② 越小， 精度越高； ③ 误差公理：任何测量（观测）都存在误差。 * * 因准确值 往往无法知道，只能估计： （上界）， 叫做 的误差限。 近似值表示： 即： 实际意义： 准确值 以一定的概率处在 的范围内。 * * 例如：用米尺测量书的厚度 注意：① 有时候误差限 、误差 不分； ② 误差限 有无数多个，不唯一。 * * 在某些情况下，误差限无法表示近似值的好坏。 例如： , 无法比较大小， , 可比较。 定义：相对误差 （又称百分误差） 实际计算中，常用下式代替： * * 采用上式，条件是： 即，差值是