数值分析 李庆扬 第9章 常微分方程初值问题数值解法.ppt

* * 对于二级显式龙格-库塔法：考察区间 内一点 用 、 两点的函数值 、 ：构造增量函数 * * 对于 可用欧拉公式预测： 因此有二级显式龙格-库塔法： * * 同理，三级显式龙格-库塔法： 注意：需用 、 的线性组合计算 * * 级显式龙格-库塔法：R-K 方法 这里 均为常数 时为欧拉法，阶数 * * 9.3.2 二阶显式 R-K 法 时，R-K 方法计算公式： 这里 均为待定常数 期望：适当选取系数，使公式阶数 尽量提高 * * 局部截断误差为 这里 将函数 在 处泰勒展开 注意 是二元函数，其导数应为全导数。 * * * * 将结果代入局部截断误差： * * 要使公式具有 阶，必有 即 非线性方程组的解不是唯一的。可令 * * 若取 ： ， ——改进的欧拉法 若取 ： ， ， 中点公式：相当于数值积分的中矩形公式 * * 9.3.3 三阶与四阶显式 R-K 方法 要得到三阶显式 R-K 方法，必须取 均为待定参数 * * 公式的局部截断误差为 将 按二元函数泰勒展开，使 这是8个未知量、6个方程的非线性方程组，解不是唯一的。 * * 常见的公式之一：库塔三阶方法 * * 经典公式之一：四阶龙格-库塔方法 可以证明：四阶龙格-库塔方法的截断误差为 * * P289例3 设取步长 ，从 到 用四阶龙格-库塔方法求解初值问题： 解：公式为 * * 计算结果： 注意：这里步长增大为 ， 计算精度比改进的欧拉法要高。 * * 9.3.4 变步长的龙格-库塔方法 步长减小，局部截断误差减小，但： ① 求解范围内的计算步数增加，计算量增大； ② 步数增加会导致舍入误差的严重积累。 选择步长时，需要考虑的两个问题： ① 怎样衡量和检验计算结果的精度？ ② 如何依据所获得的精度处理步长？ * * 考察经典的四阶龙格-库塔公式： 从节点 出发，先以 为步长求出一个近似值 将步长折半，从 跨两步到 ，再求得近似值 比较两者的局部截断误差：步长折半后，误差减小 * * 因而，可得误差估计式 步长折半前后两次计算结果的偏差 检查偏差 是否满足给定精度 要求，来选择合适步长： ① 若 ，反复将步长折半进行计算，直到 为止； ② 若 ，反复将步长加倍进行计算，直到 为止， 这时再将步长折半一次，就得到所要的结果。 ——变步长方法 《数值分析》 黄龙主讲 * * 例如： 时 ， 第9章 常微分方程初值问题数值解法 9.1 引言 微分方程：包含自变量、未知函数和未知函数导数或微分的方程。 例如： ，求 定解条件：求解微分方程时，所附加的条件——定解问题。 初始条件：给出积分曲线在初始时刻的值——初值问题。 例如： 时 ， 边界条件：给出积分曲线在首末两端的值——边值问题。 常微分方程：未知函数为一元函数。 偏微分方程：未知函数为多元函数。 * * 一阶常微分方程的初值问题： 求解 注意： ——解函数、积分曲线； ——微分函数。 确定初值问题的解存在而且唯一：李普希兹条件。 ， * * 如果存在实数 ，使得 称 关于 满足利普希茨条件， 为 的利普希茨常数。 说明：条件可理解为解函数无限接近时，微分函数也无限接近。 定理1 设 在区域 上连续， 且关于 满足利普希茨条件，则对任意 常微分方程初值问题当 时存在唯一的连续可微解 。 * * 关于方程的解对扰动的敏感性，有结论： 定理2 设 在区域 上连续，且关于 满足利普希茨条件， 设初值问题 ， ， 其解为 ，则 说明：① 定理表明解对初值的敏感性，即初值不同，解也有差异； ② 解得敏感性与微分函数 有关： 当 的利普希茨常数 较小时，解对初值相对不敏感； 当 较大时，初值的扰动会