数值分析(第一章)修正版.ppt

二元函数算术运算的相对误差限满足传播不等式 2.区间分析法 知道初始数据的误差范围,我们可以用区间分析 法分析初值误差的传播规律。 设 则有如下结论成立: 规定如下的区间运算规则：  考虑到 ， 定义 对于精确数p和近似数x之间的算术运算(代表加、减、乘、除中任一种运算)有 3 计算函数值的条件数 设x* 是x的较好近似，由微分中值定理知，可微函数f(x)在这两点的函数值之差满足: 即有 上式反应了函数值绝对误差与自变量绝对误差之间的关系，并有如下结论： 当 时，函数值的扰动比自变量的微小变化还要小；而当 很大时，自变量的微小变化，将引起函数值较大的扰动，此时，称x是函数f 在绝对误差意义下的坏函数值点。 注意：  故当 很大时，自变量的微小变化，将引起函数值较大的扰动，此时，称x是函数f 在相对误差意义下的坏函数值点。 分别称为在绝对误差意义下和相对误差意义下在x点计算函数值的条件数。 条件数与误差传播的关系： 条件数是函数自身在点x处固有的特征。对于相同的自变量扰动，条件数越大，计算出的函数值误差越大。 要提高函数值的计算精度，通常只有通过提高初值精度来实现。 §3 舍入误差分析及数值稳定  一 浮点数系及其运算的舍入误差 二 算法的数值稳定性 一 浮点数系及其运算的舍入误差  计算机中通常配置有两种类型的算术运算: 定点数运算和浮点数运算. 所谓点是指小数点, 用浮点数进行计算是指用常数个数字进行工作; 而用定点数进行计算是指用常数个小数位数进行工作. 这里我们仅介绍较多使用的浮点数系及其运算的舍入误差. 1 浮点数系以及舍入误差的产生  一个浮点数的表示由正负号、小数形式的尾数、以及确定小数点位置的阶三部分组成. 单精度实数用32位的二进制数据表示浮点数的这三个信息, 其中数值符号占1位, 尾数占23位, 阶数占8位. 对于规范化的浮点数（除零外）, 23位的二进制尾数形式是: 式中 表示尾数中小数点后第i位的权. 当尾数的首位小于5时, 可通过不断乘以2使之首位大于或等于5, 相应的二进制阶数需要减去乘以2的次数。 在8位的阶数中, 有1位表示阶数的符号, 7位表 示二进制的阶数数值, 于是阶数数值的范围是 。 单精度实数集合为: 其中元素是能够准确表示的数, 称之为机器数. 设 ,与之相邻的能够准确表示的机器数是 . 这样, 在区间 上的实数无法准确表示. 规定: 不能精确表示的实数用与之最近的机器数表示  我们将实数在机器中的浮点(float)表示为fl(x)。 将由此表示产生的误差 称之为舍入误差. 如当 时用a表示, 即有 相对误差 满足 二进制阶数数值上限 相应于十进制的阶数数值 上限是 。 除零外, 单精度实数的量级不大于 不小 于 。 设在某一浮点系统中, 尾数占t位二进制数(未计算尾数的符号位), 阶数占S位二进制数(未计算阶数的符号位), 实数x的浮点表示fl(x)共需要t+S+2位的二进制数位。 当不出现溢出时, 相对误差和绝对误差分别满足如下估计: p由 确定，上溢界和下溢界分别是： 。 对于单精度实数有t=23, S=7。 2浮点运算舍入误差分析 设实数x满足