数值分析-数值积分.ppt

第4章 数值积分 2. 代数精度的概念  例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。 3. 插值型的求积公式 4 . 求积公式的收敛性与稳定性 §2 牛顿-柯特斯公式 2. 偶阶求积公式的代数精度 3 . 几种低阶求积公式的余项 §3 复化求积公式  对复化梯形公式，还有 如果f(x)在[a,b]上有2r+2阶连续导数，余项  定义 设 2. 复化辛普森求积公式  §4 Richardson外推法   §5 龙贝格求积公式   按余项公式，梯形公式的余项 这里积分的核函数 在区间 上保号(非正)， 应用积分中值定理，在 内存在一点 使 ， 复化求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通 常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，目的是提 高精度. 1. 复化梯形公式 分点 在每个子区间[xk,xk+1] (k=0,…n) 上 采用梯形公式，则得 将区间 划分为 等分， 记 称为复化梯形公式. 其余项 由于 , 且 所以 使 于是复化梯形公式余项为 误差是 阶， 且当 时有 即复化梯形公式是收敛的. 此外， 的求积系数为正，由定理2知复化梯形公式是 稳定的. 只要 则当 时，上式均收敛到积分 所以复化梯形公式收敛. 将Tn 改写为 记 将区间 分为 n 等分， n=2m, xk=a+kh,k=0,…,2m 在每个子区间 [x2k-2,x2k] 上用Simpson公式 称为复化辛普森求积公式. 于是当 时， 与复化梯形公式相似有 误差阶为 4 ，显然是收敛的. 实际上，只要 则可得到收敛性， 即 此外，由于 Sn 中求积系数均为正数，故知复化辛普森 公式计算稳定 例2 对于函数 ， 给出 的函数表 并估计误差. 解 (见表4-2)， 计算积分 应用复化梯形法求得T8=0.9456909 试用复化梯形公式(及复化辛普森公式 将积分区间[0,1]划分为8等分， 而如果将[0,1] 分为4等分，应用复化辛普森法有 S4=0.9460832 同积分的准确值 I=0.9460831比较， 接下来看误差估计 ，由于 所以有 只有两位有效数字,复化辛普森法有6位有效数字. 复化梯形法的结果 以上得到的两个结果 T8 与S4 ，都需要提供9个点上的 函值， 计算量基本相同，然而精度却差别很大. 于是 得复化梯形公式误差 对复化辛普森公式， 也就是说用 近似J的误差价为 ，现在考虑利用 构造一个新的计算公式，使误差的价比 高. ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ... 1 ); ( ) ( ) ( 2 2 1 1 2 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 + + + + + + = + + + + + + + + + = 1 + = p p p p p n p p p n p p h q B A h q B A J B A qh B qh B hq B J B h A h A h A J A q qh U B h U A h U n n a a a a a a a a a a 令 梯形法计算简单但收敛慢，本节讨论如何提高收敛速 度以节省计算量. 根据复化梯形公式的余项表达式 §1 引言 1 . 数值求积的基本思想 依据微积分基本定理，对于积分 只要找到被积函数 的原函数 ，便有下列牛顿-莱 布尼茨(Newton-Leibniz)公式： 但对于下列情形： （1）被积函数，诸如 等等，找不到用 初等函数表示的原函数； （2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表. 这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用. 因此有必要研究积分的数值计算问题. 由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点ξ，