数值分析1017.pptx

数值分析　主讲老师：易黄建西北大学 主讲老师：易黄建第一章 绪论1数值分析的对象与任务2误差基础知识3舍入误差分析及数值稳定西北大学 主讲老师：易黄建1数值分析的对象与任务科学与工程领域中问题求解的一般过程: 1实际问题的提出2建立数学模型 3设计高效,可靠的数值方法4程序设计5上机实践计算结果　　西北大学 主讲老师：易黄建 鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法： 函数的插值和逼近 数值积分和数值微分 线性方程组求解、非线性方程（组）求解 代数特征值问题 常微分方程数值解。西北大学 主讲老师：易黄建 算法应用的意义 数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛实用性,著名流行软件如Maple,Matlab,Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数,简单调用之后便可以得到运行结果．　但由于实际问题的具体特征,复杂性,以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择,设计适合于自己特定问题的算法,因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的.　科学计算(数值模拟)已经被公认为与理论分析,实验分析并列的科学研究三大基础手段之一.西北大学 主讲老师：易黄建 2误差基础知识一 、误差来源二、误差度量三、初值误差传播西北大学 主讲老师：易黄建 一 误差来源模型误差:数学模型与实际问题的差异观测误差:观测结果与实际问题的差异截断误差: 数值方法的精确解与待求解模型的理 论分析解之间的差异舍入误差:对超过某有限位数的数据进行舍入所 产生的误差.西北大学 主讲老师：易黄建 例如: 为截断误差(方法误差) 利用计算机计算e的近似值en时，实际上得不到en的精确值，只能得到en的近似e*，这样e*作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部分：西北大学 主讲老师：易黄建 二 误差度量1.绝对误差及绝对误差限2.相对误差及相对误差限3.有效数字4.三种度量之间的关系西北大学 主讲老师：易黄建1.绝对误差及绝对误差限定义:设　是准确值x的一个近似，称为 近似x的绝对误差，简称为误差。 在不引起混淆时，简称符号 为 。如果存在着的正数 ， 使得有绝对误差 ，则称 为 近似x的一个绝对误差限，简称误差限。 实际计算中所要求的绝对误差，是指估计一个尽可能小的绝对误差限。.西北大学 主讲老师：易黄建 2.相对误差及相对误差限定义 设　是准确值　　　 的一个近似,称为　近似x的一个相对误差。在不引起混淆时，简称符号 　为因西北大学 主讲老师：易黄建即 与 相差一个较 高一阶的无穷小量。时常也用后者来计算相对误差 。 称数值 的上界为相对误差限，记为它也可以通过　　　　来计算了。　类似地，当要求计算相对误差，是估计一个尽可能小的相对误差限。西北大学 主讲老师：易黄建 3.有效数字 为规定一种近似数的表示法，使得用它表示的近似数自身就直接指示出其误差的大小，为此引出有效数的概念。西北大学 主讲老师：易黄建(1)有效数字定义 :设x的近似值 有如下标准形式其中m为整数,如果,则称为x的具有n位有效数字的近似数. 或称 准确到小数点后n位，其中分别被称为 的第一,第二,…第n个有效数字.西北大学 主讲老师：易黄建 有效数字的误差限是末尾单位的一半，可见有效数本身体现了误差界。 当准确到末位，即有n=p,则称 为有效数。 对真值进行四舍五入得到的是有效数。 从实验仪器所读的有效数。(最后一位是估计位)不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到的是有效数。 例：从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm是为了得到有效数123cm.西北大学 主讲老师：易黄建例:求其有效数？ 解:显然m=1。 ，n=3 故 有3位有效数，是非有效数。 ，n=4 故 有4 位有效数，是有效数。 两个的P=4西北大学 主讲老师：易黄建 确定近似数的有效数字,关键需要确定绝对误差限。确定十进制数“四舍五入” 方法的误差限。设十进制数x有如下的标准形式其中m为整数,对x四舍五入保留n位数字，得到近似值 。西北大学 主讲老师：易黄建四舍情形下的误差限。五入情形下的误差限。“四舍五入”法的误差限是西北大学 主讲老师：易黄建 例:对下列重力常数的近似值,求其有效数字, 解:显然 因为 或 所以 因为 或 所以 故均有3位有效数字,且均为有效数。西北大学 主讲老师：易黄建4.三种度量之间的关系(1)相对误差限与有效数字的关系定理 设x的近似数 具有标准形