数值分析03函数逼近与计算.ppt

线性拟合问题 ||.||2 意义下的线性拟合 若记: 确定拟合函数 对于一组数据(xi, yi) (i = 1, 2, …, m) ，使得 达到极小，这里 n ＝ m。 则 记 则E 实际上是 c0, c1, …, cn 的多元函数，在 E 的极值点处应有 于是，得到关于c1,c2,…,cn的方程组 法方程组(或正规方程组) （8） 2、举例 给定 的一组数据 求拟合函数 。 解： 作图可知所有点都分布在一条直线的附近，即拟合函数 近似为一个线性函数，故可设 将数据带回，即可得拟合函数 3.用正交函数作最小二乘拟合 给定 与正交函数系 可利用正交化手续进行构造 则最小二乘拟合函数为： * (2) 拉盖尔(Laguerre)多项式 定义： 称多项式 为拉盖尔多项式。 ① 是在区间[0, +∞]上带权 的正交多项式序列。 ② 相邻的三项具有递推关系式： 拉盖尔多项式的性质： (3) 埃尔米特(Hermite)多项式 定义： 称多项式 为埃尔米特多项式。 的正交多项式序列。 ① 是区间(-?, +?)上带权 ② 相邻的三项具有递推关系式： 埃尔米特多项式的性质： 四、内积空间上的最佳平方逼近 1．函数系的线性关系 定义： 若函数 ，在区间 上连续， 如果关系式 当且仅当 时才成立， 函数在 上是线性无关的，否则称线性相关。 则称 是任意实数，则 并称 是生成集合的一个基底。 的全体是 的一个子集，记为 设 是 上线性无关的连 续函数, 连续函数 在 上线性无关的 充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式 定理 其中 广义多项式 设函数系{ ，…}线性无关， 则其有限项的线性组合 称为广义多项式。 对任意的 为 的最佳平方逼近元。 2、最佳平方逼近元的定义 设 为线性内积空间， 为 上 个 线性无关元， 记由 张成的 的子空间为 ， 即 定义 在 的子空间 中， 求 的在2-范数 意义下的最佳逼近元 ， 即求 ，使不等式 对任意 成立. 若满足上式的 存在， 称 3.平方最佳逼近元的存在性 定理1 设 为线性内积空间， 由线性无关组 张成的线性空间 为 的子空间， 存在 为 的最佳平方逼近元. 则对任意的 Remark: 线性内积空间 的子空间 的线性无关组 选取不同， 在 中求得的对 的最佳 平方逼近元 也不同，求解 的难易程度也不同。 4. 最佳平方逼近元的充要条件 定理2 内积空间) 为 的最佳平方逼近元的充要条件是： (线性 与一切 正交。 其中， 为 的 个线性无关元。 REMARK： 定理2中所说的 与一切 正交， 与一切 的内积等于零， 是指 即 证： 必要性. 用反证法. 设 为 的最佳平方逼近元， 不与所有的 正交. 但 即存在 使得 则 令 所以 必须与一切 正交. 且 这说明 不是对 的最佳平方逼近元， 与假设条件矛盾， 充分性. 仍记 则对任意的 ，有 而 对任意 成立, 即 为 的最佳平方逼近元。 所以 进而有 5.最佳平方逼近元的惟一性 定理3 线性内积空间 的子空间 中若存在对 的 最佳平方逼近元，则惟一. 6. 最佳平方逼近元的求解 现假定线性内积空间 上的内积已定义， 并且 的 子空间的一组基底 也确定， 平方逼近元. 对具体的被逼近元 要求 为 的最佳 由最佳平方逼近元的充要条件， 若假定 则可以得出 其中 为待定系数。 恒等变形为 用矩阵式表示这个方程组为 此方程组称为法方程组。 若所选取的一组基底 满足 则称其为正交基，此时 五、函数的最佳平方逼近 1. 对于给定的函数 要求函数 使 若这样的 存在， 上的最