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数值分析2.1向量和矩阵的范数
一、向量的范数 第2章 解线性方程组的直接法 §向量和矩阵的范数 二、矩阵的范数 三、小结 一、向量的范数 1. 向量范数的定义 设对任意向量 x∈Rn，按一定的规则有一实数与之对应，记为‖x‖，若‖x‖满足 则称‖x‖为向量的范数 在Rn上的向量x =(x1,…,xn)T∈Rn，三种常用的范数为： 称为∞－范数或最大范数 称为1－范数 称为2－范数 称为p－范数 2. 常用的向量范数 举例：计算向量 x=(1, -2, 3)T的各种范数. 解： 容易验证 的3种范数之间有如下关系： 下面验证第2式 设 ，则 于是有 ，又 即有 ，故有 3. 向量范数的性质 定义：如果Rn中有两个范数 ||x||s 与 ||x||t ，存 在常数m, M0，使对任意n维向量x，有 则称这两个范数等价. 性质：对两种等价范数而言，某向量序列在 其中一种范数意义下收敛时，则在另 一种范数意义下也收敛。 定理：Rn上的任意两个范数等价. 注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任 何一种范数意义下研究。 二、矩阵的范数 1. 矩阵范数的定义 设对任意矩阵 A∈Rn×n，按一定的规则有一实数与之对应，记为‖A‖，若‖A‖满足 则称‖A‖为矩阵的范数 在Rn×n上的矩阵A=(aij),常用的范数有： 称为∞－范数或行范数 称为1－范数或列范数 称为2－范数 2. 常用的矩阵范数 (其中λmax(ATA)表示ATA的最大特征值) 称为Frobennius－范数 举例： 计算A的各种范数. 解： 下面计算2-范数 令 即 故最大的特征值为 所以
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