数值分析4 - 数值积分.ppt

第四章 数值积分 经典方法(插值型数值求积方法) Gauss数值积分方法 复化数值求积公式 积分方程的数值求解 3. 结论： 定理6 Gauss型求积公式是数值稳定的；且对有限闭区间上的 优点：（1）收敛、稳定； 缺点：（1）Gauss点难求（即多项式的根难求）； 连续函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而收敛到 准确积分值。 （2）计算量小，代数精度高。 （2）Gauss点是无理数， Gauss求积系数也是无理数。 五、几个常用的Gauss型求积公式 Gauss型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起来，有 1. Gauss-Legendre （勒让德）求积公式 以下几种求积公式。 2. Gauss- chebyshev （切比雪夫）求积公式 3. Gauss-Laguerre （拉盖尔）求积公式 4. Gauss-Hermite 求积公式 说明：（1）插值型求积公式代数精度大于n，多大？最大可 达到2n+1,即是Gauss型求积公式，Gauss节点是正交多项式的根。 交多项式，并且也能构造高斯求积公式，但不能象这些特殊多项 （2）虽然对任意的[a,b]以及[a,b]上的权函数 都能构造正 式那样，归结成一个明确的表达式，也没有明确的规律，因此， 借助这些特殊多项式，便于解决一些实际问题。 一、复化数值求积法 问题：如何提高求积公式的精度？ （2）复化求积公式 §3 复化数值求积公式 介绍最基本的求积公式 （1）增加求积节点 Gauss型求积公式。 缺点：节点是无理数，计算不方便。 解决方法： 复化求积公式的原则（基本思想）： (f(x)的赋值不太复杂时) 如：N－C公式。缺点：当n增大时，数值不稳定； 把求积区间 进行等距细分： 在每个小区间 上用相同的“基本”求积公式计算出 梯形公式；中矩形公式；左（右）矩形公式；或Simpson公式 注：不能同时取两个或两个以上的公式。 的近似值Si ， 二、复化梯形公式 在 上采用梯形公式，记 所以 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－C公式中当n=1时的梯形公式。 1. 公式 (17) 2. 余项 定理7: , 则复化梯形公式的余项为 及渐近估计式 (18) (19) （1）(19)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 说明： （2）余项可由端点的函数值(导数值)确定。 h2收敛于零的速度相同，即余项等 于O(h2)。 （推导类似复化梯形公式） 3.复化中矩求积公式 在 上采用中矩形公式， 所以 4. 复化梯形公式与复化中矩求积公式的关系 三、复化Simpson公式 在每个小区间 上采用Simpson公式，则 1. 公式 （推导类似前面公式） 2. 余项 定理8: 时,复化Simpson公式的余项有表达式 及渐近估计式 优点：复化Simpson公式精确度较好。 对[a,b]上的任何连续函数 ,都有 因此复化求积公式不能仅用代数精度来决定其优劣。 而是用收 将区间 等分， ，用某一基本求积公式 其中 独立于n,依赖于 。 (刻划求积公式收敛性) 但对代数多项式 定义： 生成的复化求积公式，若对充分光滑的被积函数 ，有 称该复化求积公式的收敛阶为p。 敛阶来刻划其收敛性。 四、复化求积公式的收敛阶 (20) (21) 复化Simpson公式的收敛阶是4，且当 时，收敛阶 ，收敛阶越高,当区间划分加密时,积分近似 复化梯形公式的收敛阶是2。 且当 时收敛阶大于2。 大于4。 值就越精确。 结论： 注： §4 积分方程的数值求解 一、基础知识 1. 积分方程：就是方程中含有积分，而积分中又含有未知 函数的方程。 积分方程的分类很复杂 理论和算法存在很大差异 2. 第二类Fredholm积分方程 一般形式： (22) 其中 称为该积分方程的核函数， 为一参数。 为简单起见，一般假设函数 和 充分光滑，即 其中， 是正数。 * * §1 插值型数值求积公式 一、一般求积公式及其代数精度 1) 提出问题： 1. 一般求积公式 2) 解决方法： 与f(x)无关的常数,称为积分系数 求积节点 (1) (2) (3) (2)和(3)都称之为数值求积公式或机械求积公式 。 为求积公式的截断误差（方法误差）。 3) 衡量某种方法好坏的标准： a. 代数精度 b. 数值稳定性 c.