数值分析3 - 函数的数值逼近.ppt

第三章 函数的数值逼近 引言 代数多项式插值 分段线性插值与“保形”插值 三次样条函数插值 曲线拟合的最小二乘法 §1 引言 1.定义： 2、插值多项式的存在唯一性 一、线性插值与抛物线插值 二、Lagrange 多项式插值(n次) 定理2（Lagrange）插值多项式 三、插值多项式的余项 例1. 高次插值出现龙格现象 L-插值 Hermite插值 分段插值 但分段线性插值在节点处不一定光滑 分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到） 三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 Hermite插值解决问题） 1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）； 2 木样条的来源。 §4 三次样条插值 一、发展背景 实际工实例： 二 、 样条函数的定义 定义 （3次样条函数）： 在每一个小区间 上是次数 多项式。 若（1）中3次样条函数 还满足插值条件： 关于剖分 称 为 的3次样条插值函数。 ，即具有连续的一阶，二阶导数。 满足下述条件： 如果函数 (1) 设有对[a,b]的剖分 的一个3次样条函数。 为关于剖分 则称 提出问题： 3次样条插值函数 是否存在？是否唯一？ 如何计算？误差估计？ 函数表 （2）设给定 分析： 因 上是3次多项式，即为 4n个待定系数: 个条件 内部条件： 个条件 共有 个条件, 要唯一确定 ，还必须附加条件(2边界条件)。 已有条件： 连续性 ？ 常见边界条件有三种： 第1种边界条件： 第2种边界条件： 若 ，称为自然边界条件。 已知,即 已知,即 第3种边界条件（周期边界条件）： 为周期函数， 此时称 为周期样条函数。 亦是周期函数，周期为 ，即取 要求 注： 一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。 三次样条插值函数的表达式 基本思路： 以分段三次Hermite插值为基础，由(1)函数表 ；(3)三种边界条件中 的某一种推导3次样条插值函数。 推导方法： 1、先确定插值函数 在节点处的一阶导数，记为 该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。 2、先确定插值函数 在节点处的二阶导数，记为 该方法即为3次样条插值函数的二阶导数表示。 （一阶导数表示） 三、三次样条插值函数的表达式 1. 推导公式： 回忆： 分段3次Hermite插值 已知 问题： 求3次样条插值函数 。 函数表 设给定 若要 则要求满足： 个条件 加某一边界条件（2个） 个条件 令 (20) 不固定,是待定参数，共(n+1)个 (21) 对(20)式求导: 由条件 ,得 把(21)代入(24)得到 所满足线性方程组 两边同除以 ，得 (22) (24) (23) 令 得 说明： （b）（25）式有n-1个方程,要确定n+1个未知量 还少两个方程,由边界条件补足. 方程组成的方程组.mj( j=0,1,…,n)在力学上叫做细梁xj( j=0,1,…,n) 的 （a）(25)式是关于n+1个未知量 个 三种边界条件 处的转角，数学上叫做变化率。方程(25)反映了mj与mj-1,mj+1的 关系,因此(25)叫做三转角方程。 (25) 方程组(25)为关于 所满足的方程组： (1)增加第1种边界条件： 则方程组(25)为关于 所满足的方程组可写为： (26) 矛盾方程组 (2)增加第2种边界条件： 则由(22)式取 及(23)式取 得到2个方程 (利用(21)式中 值）: 由下式 得( j = 0, j=n-1) (21) (21)’ (27) 把(21)’式分别代入（27），得 整理得两个方程: (28) 于是,得到 所满足的线性方程组： 上式简记为 (29) 可通过引入第三种边界条件推导，练习！ 则方程组（26）和（29）有唯一解 可由解方程组的方法 求解，从而由(20)给出 表达式,且 具有连续的一阶,二阶导数(即 为3次样条插值函数)。 说明： 方程组（26）和（29）的系数矩阵都是严格对角占优 矩阵，由此可知这些方程组的系数阵为非奇异矩阵， (2) 求解方程组(26)(或(29)),求 。 2. 存在唯一性 且 是定义在 上函数且已知 函数表 定理 （三次样条插值函数存在唯一） (2)给定边界条件 ，则 于 存在 唯一三次样条插值函数 , 且满足 3. 计算步骤 : 先计算(26)式中的 （若是第二类 或第三类边界条件，要计算 ）。 (3) 用(20)及(21)式进行插