数值分析第9章.ppt

9.2.4 改进欧拉法及局部截断误差 Runge-Kutta方法的一般形式： 例 结果及比较 三阶显式Runge-Kutta方法 三阶显式Runge-Kutta方法 四阶显式Runge-Kutta方法 例 结果及比较 结果及比较 关于Runge-Kutta方法 提高Runge-Kutta方法的精度的方法 变步长的Runge-Kutta方法 作为妥协，如果能在计算过程中实时控制步长的大小，就可以在获得较高的计算速度的同时，保证较高的精度。 Runge-Kutta-Fehlberg方法 Fehlberg设计了一个更加精巧的嵌套方法如下： Runge-Kutta-Fehlberg方法 Fehlberg给出的四阶、五阶公式RKF4(5)如下： Runge-Kutta-Fehlberg方法 七阶、八阶RKF7(8) Runge-Kutta-Fehlberg方法 七阶、八阶RKF7(8) 单步法 在推导二阶显式方法的过程中，注意到局部截断误差表达式中h3项包含了以下表达式： 因此若要在局部截断误差中消去h3项，必须增加包含了以上各项的多个方程，同时我们注意到r=2时，只有 等四个待定系数，少于方程的数目，所以这样的系数不存在。故： r=2时Runge-Kutta方法只能是二阶的。要得到三阶的方法，则必须有r=3。 1.64E-1 2.32E-6 2.281718 2.117800 2.281716 1.0 1.29E-1 1.96E-6 2.150397 2.021086 2.150395 0.9 9.99E-2 1.68E-6 2.014459 1.914603 2.014457 0.8 7.51E-2 1.42E-6 1.876247 1.801179 1.876246 0.7 5.45E-2 1.20E-6 1.737881 1.683374 1.737880 0.6 3.78E-2 9.95E-7 1.601279 1.563506 1.601278 0.5 2.45E-2 7.69E-7 1.468175 1.443671 1.468175 0.4 1.44E-2 5.48E-7 1.340141 1.325766 1.340141 0.3 7.09E-3 3.40E-7 1.218597 1.211507 1.218597 0.2 2.38E-3 1.60E-7 1.104829 1.102450 1.104829 0.1 0.000000 0.0000 1.000000 1.000000 1.000000 0.0 二阶误差 四阶误差 真解 二阶 四阶 x 提高精度最简单的方法是缩短步长，但要以牺牲计算速度和积累舍入误差为代价。 * * 第9章 常微分方程初值问题数值解法 9.1 引 言 本章研究的问题: 9.2 欧 拉 方 法 9.2.1 欧拉公式 1 欧拉公式 图9.1 欧拉折线法 (2) (3) 2 欧拉公式的截断误差 (4) 3单步法的局部截断误差与阶 局部截断误差可以理解为计算一步的误差. ︱ 局部截断误差可以理解为计算一步的误差. 则称该方法具有P阶精度. 定义2 设 是初值问题的准确解，若存在最大整数 使显式单步法的局部截断误差满足 若把上式展开写成 则 称为局部截断误差主项 。 4 后退的欧拉方法 (5) (6) (6)式称为后退的欧拉方法,它是隐式的,欧拉公式(2)是显式的, (7) (6) 后退的欧拉方法的局部截断误差: 5 梯形方法 (8)式称为梯形方法. (8) 梯形方法的局部截断误差: 预测步 校正步 或者写成 1.改进的欧拉公式: 2.改进的欧拉方法的局部截断误差 考虑改进Euler法 如果将其改成 ----------(1) 9.3 Runge-Kutta法 改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成 梯形公式具有2阶精度 (1)式为一种二阶Runge-Kutta法 同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度 Runge-Kutta方法的推导 确定了阶数之后，再通过Taylor展开、比较两边系数的方法，确定各待定系数： 二阶显式Runge-Kutta方法 * *