数值分析第七章数值积分与数值微分.ppt

* 举例 解： 例：设 ，利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算定积分 ，并估计误差。 xi 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1.0 f (xi ) 1 0.997 0.990 0.977 0.954 0.936 0.909 0.877 0.841 * 举例 误差估计 收敛速度与误差估计： 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 ~ ~ ~ 例：计算 解： 其中 = 3.138988494 其中 = 3.141592502 * 举例 解： 例：计算定积分 用复合梯形公式和复合simpson公式时，n 分别取多大时才能使得误差不超过 0.5 ? 10-5 要使误差不超过 0.5 ? 10-5 ，需要 故取 n=213 213 等分 复合梯形公式 * 举例 复合simpson公式 要使误差不超过 0.5 ? 10-5 ，需要 故取 n=4 8 等分 第七章 数值积分 与数值微分 第四节 变步长算法 太大 利用复合梯形公式、复合simpson公式、复合Cotes公式等计算定积分时，如何选取步长 h ？ 计算精度难以保证 太小 增加额外的计算量 解决办法：采用 变步长算法 变步长算法 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k ，反复使用复合求积公式，直到相邻两次计算结果之差的绝对值小于指定的精度为止。 变步长梯形法 步长折半：[xi , xi+1/2] ， [xi +1/2 , xi+1] 将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ， n = 20, 21, 22, … xi xi +1 xi +1/2 举例（一） 解： 例：用变步长梯形公式计算积分 ，要求计算精度满足 k Tn ( n =2k ) 0 0.920735492 1 0.939793285 2 0.944513522 3 0.945690864 4 0.945985030 5 0.946058561 6 0.946076943 7 0.946081539 8 0.946082687 9 0.946082975 10 0.946083046 梯形法的加速 变步长梯形法算法简单，编程方便 梯形法的加速－－龙贝格(Romberg)算法 变步长梯形法中止依据 但收敛速度较慢。 梯形法的加速（续） 由 来计算 效果是否会更好些？ = (4*0.945690864 - 0.944513522)/3 = 0精确值：0.946083070367… 事实上 龙贝格公式 同理可得 一般地，有 龙贝格公式 注：(1)上述加速技巧称为龙贝格求积算法； (2)每加速一次，计算精度提高二阶； (3)该技巧可以不断继续下去，但通常最多用到龙贝格公式。 Romberg 算法 ? ? ① T1 =T0 (0) ② T2 =T0 (1) ③ S1 =T1 (0) ④ T4 =T0 (2) ⑤ S2 =T1 (1) ⑥ C1 =T2 (0) ? ? ⑦ T8 =T0 (3) ⑧ S4 =T1 (2) ⑨ C2 =T2 (1) ? ? ⑩ R1 =T3 (0) 记: 举例（二） 例：用龙贝格算法计算 ，要求精度 k 0 01 002 0003 0000解： 逐步计算 (k) T0 2k (S ) (k) T1 (k) T2 (k) T3 2k (R ) 2k (T ) 2k (C ) * 第七章数值积分与数值微分 数值分析 —— Gauss 求积公式 * Gauss 型求积公式 考虑求积公式 含 2n+2 个参数 (节点与系数), 为了使该公式具有尽可能高的代数精度, 可将 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入公式, 使其精确成立, 则可构造出代数精度至少为 2n+1 的求积公式! * 举例 例：试确定节点 xi 和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。 解： 将 f (x)＝1, x, x2, x3 代入求积公式，使其精确成立，可得 易验证该公式对 f (x)＝x4 不精确成