数值分析第三章插值法.ppt

* * * * * * 误差估计 误差估计 在小区间 [xk, xk+1] 上有 当 h? 0 时， Ih(x) 在 [a, b] 上 一致收敛 到 f(x) 分段线性插值的不足： Ih(x) 在节点不可导 分段三次Hermite插值 分段三次 Hermite 插值 设 a ? x0 x1 ··· xn ? b 为 [a, b] 上的互异节点 yk ＝ f(xk) , mk ＝ f’(xk) ， k = 0, 1, … , n 求分段函数 Ih(x) 满足 Ih(x) 在每个小区间 [xk, xk+1] 上是三次多项式 分段三次Hermite插值 由以上条件直接可得 Ih(x) 在小区间 [xk, xk+1] 上的表达式 x ? [xk, xk+1]， k = 0, 1, … , n-1 误差估计 * 三次样条插值 设插值节点为a = x0 x1 … xn-1 xn = b 若函数 S(x)?C2[a,b]，且在每个小区间 [xj , xj+1]上是三次多项式，则称其为三次样条函数 如果同时还满足 S(xi) = f(xi) = yi ， i = 0, 1, 2, …, n 则称 s(x) 为 f (x) 在 [a , b] 上的三次样条插值函数 定义 * 三次样条插值 S(x) 满足： ① S(x)?C2[a,b]； ② 在 [xj , xj+1] 是三次多项式 ③ S(xi) = yi ， i = 0, 1, 2, …, n 其中 sj(x) 为 [xj, xj+1 ] 上的三次多项式，且满足 sj(xj) = yj，sj(xj+1) = yj+1 j = 0, 1, …, n-1 怎样计算三次样条插值函数 * 边界条件 每个 sj(x) 均为三次多项式，有 4 个待定系数，所以共有 4n 个待定系数，故需 4n 个方程才能确定。前面已经得到 2n +2(n-1) = 4n-2 个方程，还缺 2 个方程！ 实际问题通常对样条函数在两个端点处的状态有要求，即所谓的 边界条件 ( j = 1, 2, …, n-1) * 常用的边界条件 第一类边界条件：给定函数在端点处的一阶导数，即 第二类边界条件：给定函数在端点处的二阶导数，即 当 S”(x0) = S”(xn) = 0 时，称为自然边界条件， 此时的样条函数称为自然样条函数 第三类边界条件：设 f (x) 是周期函数，并设 xn – x0 是一个周期，于是要求 S(x) 满足 * 三次样条函数的计算 设 S”(xj) = Mj， j = 0, 1, 2, …, n 由于 sj(x) 是三次多项式，故 sj”(x) 为线性函数，且 sj”(xj) = Mj , sj”(xj+1) = Mj+1 下面计算 S(x) 在 [xj, xj+1] 的表达式 sj (x) 由线性插值公式可得 求积分，可得 * 三次样条函数的计算 将插值条件 sj(xj) = yj，sj(xj+1) = yj+1 代入，即可确定积分常数 c1 和 c2 。整理后可得 sj(x) 的表达式为 只需确定 M0, M1 , … , Mn 的值，即可给出 sj(x)的表达式，从而可以得到 S(x) 的表达式。 j = 0, 1, …, n-1 * 三次样条函数的计算 条件： 易知 6 f[xj-1, xj, xj+1] dj ?j ?j * 三次样条函数的计算 或 j = 1, 2, …, n-1 * 三次样条函数的计算 整理后得关于 Mj-1, Mj 和 Mj+1 的方程： 三弯矩方程 共 n-1 个方程，附加边界条件，补充两个方程后，即可确定 n+1 个未知量 M0, M1 , … , Mn 其中 j = 1, 2, …, n-1 * 第一类边界条件 第一类边界条件： 直接代入 sj (x) 的一阶导数表达式即得 与前面的 n-1 个方程联立可得 n+1 阶线性方程组： 系数矩阵严格对角占优，方程组存在唯一解。 * 第二类边界条件 故前面方程中只含 n-1 个未知量，即可得 n-1 阶线性方程组: 第二类边界条件： 系数矩阵严格对角占优，方程组存在唯一解。 直接可得 * 第三类边界条件 系数矩阵严格对角占优，方程组存在唯一解。 第三类边界条件： 可得 其中 与前面的 n-1 个方程联立可得 n 阶线性方程组： * 具体计算过程 综上所述，满足插值条件 s (xj)= yj 和某一类边界条件的三次样条函数存