数值分析第三章 解线性方程组的直接方法.ppt

平面转转矩阵或吉文斯（Givens）变换 第i列 第j列 第i行 第j行 Ch5 解线性方程组的直接方法 求解 ? 高斯消元法： 思路 首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */，再回代求解 /* backward substitution */。 = 消元 记 Step 1：设 ，计算因子 将增广矩阵/* augmented matrix */ 第 i 行 ? mi1 ? 第1行，得到 其中 Step k：设 ，计算因子 且计算 共进行 ？ 步 n ? 1 回代 What if ? No unique solution exists. What if ? Then we must find the smallest integer k ? i with , and interchange the k-th row with the i-th row. What if we can’t find such k ? No unique solution exists. 定理 若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal submatrices */ 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。 注：事实上，只要 A 非奇异，即 A?1 存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。 §1 Gaussian Elimination – The Method ? 选主元消去法 例：单精度解方程组 /* 精确解为 和 */ 8个 8个 用Gaussian Elimination计算： 8个 小主元 /* Small pivot element */ 可能导致计算失败。 ? 全主元消去法 /* Complete Pivoting */ 每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 。 Step k: ① 选取 ② If ik ? k then 交换第 k 行与第 ik 行; If jk ? k then 交换第 k 列与第 jk 列; ③ 消元 注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后再换回来。 ? 列主元消去法 /* Partial Pivoting, or maximal column pivoting */ 省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。 例： ? 注：列主元法没有全主元法稳定。 例： 注意：这两个方程组在数学上严格等价。 ? ? 标度化列主元消去法 /* Scaled Partial Pivoting */ 对每一行计算　　　　　 。为省时间，si 只在初始时计算一次。以后每一步考虑子列 中　 最大的 aik 为主元。 注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。 §1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies §2 三角分解法 /* Matrix Factorization */ ? 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G.E. */： Step 1: 记 L1 = ，则 Step n ? 1: 其中 Lk = §2 Matrix Factorization – Matrix Form of G.E. 记为 L 单位下三角阵 /* unitary lower-triangular matrix */ 记 U = A 的 LU 分解 /* LU factorization */ Hey hasn’t GE given me enough headache? Why do I have to know its matrix form??! When you have to solve the system for different with a fixed A. Could you be more specific, please? Factorize A first, then for every you only have to solve two simple triangular systems and . §2 Matrix Factorization