数值分析第四章函数逼近与拟合.ppt

* * * * * x * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 例：用 来拟合 ，w ? 1 解： ?0(x) = 1， ?1(x) = x， ?2(x) = x2 7623 ) ( 4 63 || || 484, || || 1 = =  ? - ? = B cond B B 例：连续型拟合中，取 则 若能取函数族?={ ?0(x), ?1(x), … , ?n(x), … }，使得任意一对?i(x)和?j(x)两两（带权）正交，则 B 就化为对角阵！ 这时直接可算出ak = 改进： Hilbert阵！ 常用的正交多项式 （二） 正交多项式 记 是首项系数为1的n次Chebyshev多项式. 记 为一切定义在［－１，１］上首项系数为1的n次多项式的集合 Chebyshev多项式最小模性质 正交多项式的构造 正交多项式的递推关系式： 将正交函数族中的?k 取为k 阶多项式，为简单起见，可取?k 的首项系数为 1 。 其中 例：用 来拟合 ，w ? 1 解：通过正交多项式 ?0(x), ?1(x), ?2(x) 求解 设 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 0 0 x a x a x a y j j j + + = 1 ) ( 0 = x j 2 29 ) , ( ) , ( 0 0 0 0 = = j j j y a 2 5 ) , ( ) , ( 0 0 0 0 1 = = j j j j a x 2 5 ) ( ) ( ) ( 0 1 1 - = - = x x x x j a j 5 37 ) , ( ) , ( 1 1 1 1 = = j j j y a 2 5 ) , ( ) , ( 1 1 1 1 2 = = j j j j a x 4 5 ) , ( ) , ( 0 0 1 1 1 = = j j j j b 5 5 ) ( 4 5 ) ( ) 2 5 ( ) ( 2 0 1 2 + - = - - = x x x x x x j j j 2 1 ) , ( ) , ( 2 2 2 2 = = j j j y a （三） * * * * 第四章函数逼近 数值分析 函数逼近 三个问题 问题一 已知一个函数的数值表 x x1 x2 …… xm y y1 y2 …… ym 能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得 p(xi) = yi 。 问题二 函数 f(x) 的表达式非常复杂，能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得p(x) 是 f(x) 的一个合理的逼近。 问题三 问题一的表中的数值带有误差，能否找到一个简单易算的 p(x) ，可以近似地表示这些数据。 逼近标准 度量 p(x) 与 f(x) 的近似程度的常用两种标准 使 尽可能地小。 使 尽可能地小。 一致逼近 平方逼近 预备知识 预备知识 线性空间、线性相关、线性无关 基、维数、有限维空间与无限维空间 常见线性空间：Rn 、Hn、C[a, b]、 Cm[a, b] Weierstrass 定理 设 f(x)?C[a, b] ，则对 ? ? 0，总存在一个多项式 p(x) ，使得 在 [a, b] 上一致成立。 范数 范数与赋范线性空间 设 S 为线性空间，x?S，若存在唯一实数 || · ||，满足 正定性：||x|| ? 0，等号当且仅当 x = 0 时成立 齐次性：||?x|| = |?| · ||x||， ??R 三角不等式：|| x+y || ? || x || + || y || 则称 || · || 为 S 上的范数，(S, || · ||) 称为赋范线性空间 赋范线性空间 赋范线性空间 Rn 线性空间 Rn，x = (x1, x2, ? , xn)T?Rn 1-范数： 2-范数： ?-范数： （最大范数）