数值计算方法(第3章)1 深圳大学 科学与工程计算 数值分析 课件.ppt

第3章 解线性方程组的数值解法 引言 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。 线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。 引言 关于线性方程组的数值解法一般有两类。 直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差） 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题 3.1 高斯消元法 设线性方程组 简记 AX=b 高斯消元法 其中 高斯消元法 克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在实际应用中存在很大的困难，在线性代数中，为解决这一困难给出了高斯消元法。 例题 例1.用消元法解方程组 例题 第一步：-2 x（1）+(3)得 例题 第二步：1 x（2）+（4） 回代得：x=[1,2,3]T 3.1.1 高斯顺序消元法 下三角形方程求解 设 （1） 高斯顺序消元法 由（1）得 高斯顺序消元法 算法： 高斯顺序消元法 上三角方程组的解法 设 由（2）式回代得 上三角方程组的解法 高斯顺序消去法 设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b 1、第一次消元。设 高斯顺序消去法 高斯顺序消去法 设第k-1次消元得A(k)x=b(k) 其中 高斯顺序消去法 则第k次消元: 高斯顺序消去法 最后 高斯顺序消去法 也就是对于方程组AX=b系数矩阵做： 高斯顺序消去法 高斯顺序消去法 高斯顺序消去法 高斯顺序消去法 高斯顺序消去法算法框图 高斯消去法的计算量 高斯顺序消去法条件 3.1.2 高斯主元素消去法 Gauss列主元消元法 从第一列中选出绝对值最大的元素 高斯列主元消去法 高斯列主元消去法 第k步 从 的第k列 ， ， 中选取绝对值最大项，记录所在行，即 若 交换第k行与l行的所有对应元素，再进行顺序消元。 框图 高斯列主元消去法 高斯列主元消去法 高斯列主元消去法 2. 全主元消去法 例如.求解方程组 全主元消去法 全主元消去法 全主元消去法 全主元消去法 全主元消去法 全主元消去法 Gauss全主元消元算法 Gauss全主元消元算法 Gauss全主元消元算法 3.高斯-约当消去法 与一般消去法相比，高斯—约当消去法是一种无回代过程的算法 设方程组AX=b经过（k-1）次消元得 高斯-约当消去法 算法 选列主元的Gauss-Jordan消去法 Guass-Jordan消去法形式上比Guass消去法简单,求解无回代过程,但从工作量角度看前者大约需要O( ),而后者需要量 O( ),比有回代的Guass消去法多O( )工作量. 小节 比较而言,Gauss顺序消去法条件苛刻,且数值不稳定; Gauss全主元消去法工作量偏大，需要比较 个元素及行列交换工作，算法复杂；对于Gauss-Jordan消去法形式上比其他消元法简单，且无回代求解，但计算量大,比Gauss顺序消去法多 计算量。因此从算法优化的角度考虑， Gauss列主元消去法比较好。 * * 交换