数值计算方法(第4章)3 深圳大学 科学与工程计算 数值分析 课件.ppt

相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为 就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求 以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得: N(7)=2078(年) 4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解 设矛盾方程组 这里mn,记 则上式可简记为Ax=b. 矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足 引理 设 则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关,则 是非奇异方阵. 定理4.5.2 设 且各列向量线性无关,则 (1)矛盾方程组(4.5.19)的法方程组 恒有解; (2)设x* 是法方程组 的解,则x* 是矛盾方程组(4.5.19)的最小二乘解. 定理4.5.2指出:实验数据 的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方程组 的最小二乘解. 4.5.1 最佳平方逼近 定义4.5.1 设 称 为函数 在区间[a,b]上的内积. 其中 为区间[a,b]上的权函数,且满足下面两个条件: 容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质. 内积的性质 函数的欧几里得范数 定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数. 函数的欧几里得范数性质 线性相关的函数系 定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为零的数 使 成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的. 线性相关的函数系的判定 定理4.5.1 函数 在区间[a,b]上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式 不难证明 在R上线性无关. 定理4.5.1的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 . 最佳平方逼近 定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关. 记 为连续函数空C[a,b]的子空间,如果存在元素 满足 则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近函数.且 其中 是法方程 唯一的一组解. 令 则误差为 特例 取 则法方程为 其中 例题 例4.5.1 设 求f(x)在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式. 解 设 由于 故法方程为 解得 平方误差为 4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法 曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题. 在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小. 设 是[a,b]上一组线性无关的连续函数系,令 记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即 达到极小值,这里 是[a,b]上的权函数. 类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数 极值必要条件有 用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为 其中 由于向量组 是线性无关, 故式(4.5.14)的系数行列式 故式(4.5.14)存在唯一解