数字信号处理第2章ppt.ppt

观测数据与期望的输出的互相关函数rxyd(k)和互谱密度Sxyd(z)分别为 （2.4.6） （2.4.7） 这样，非因果维纳预测器的最佳解为 （2.4.8） 因果维纳预测器的最佳解为 （2.4.9） 维纳预测的最小均方误差为 从上面分析可以看出， 维纳预测的求解和维纳滤波器的求解方法是一致的。 2.4.2 纯预测 假设x(n)=s(n)+v(n)，式中v(n)是噪声，且v(n)=0，期望信号为s(n+N), N＞0，此种情况称为纯预测。  假定维纳预测器是因果的，仍设s(n)与v(n)不相关，纯预测情况下的输入信号的功率谱及维纳预测器的最佳解分别为 （2.4.11） （2.4.12） 纯预测器的最小均方误差为 （2.4.13） 应用复卷积定理 （2.4.14） 取y(n)=x(n) （2.4.15） 将上式代入(2.4.13)式, 并考虑到b(n)是因果系统，得到 可以看到，随着N增加，E［|e(n+N)|2］min也增加。这一点也容易理解，当预测的距离越远，预测的效果越差，偏差越大，因而E［|e(n+N)|2］min越大。 例2.4.1 已知 其中-1＜a＜1， 求: (1) 最小均方误差下的s(n+N)；  (2) E［|e(n+N)|2］min。 ^ 解 首先对Sxx(z)进行功率谱分解。因为 所以 其次，求出B(z)的Z反变换 然后，应用Z变换的性质，得到 （2.4.17） 图 2.4.1 纯预测维纳滤波器 由Hopt(z)=aN，此时可以把纯预测的维纳滤波器看作是一个线性比例放大器（如图2.4.1所示）。 根据x(n)的信号模型 可以写出x(n)的时间序列模型所对应的输入输出方程 x(n)=ω(n)+ax(n-1) 将信号x(n)通过纯预测维纳滤波器，随着时间的递增，可以得到 当N=1时，x(n+1)=ax(n)=as(n) 当N=2时，x(n+2)=ax(n+1)=a2s(n)  当N=N时，x(n+N)=ax(N+n-1)=aNs(n) … （2.4.19） 以上推导结果相当于在n+N时刻，ω(n+N)=0，即去掉噪声时的结果。设N＞0时，ω(n+N)=0，则 x(n+N)=ax(n+N-1) 此时，从统计意义上讲，当N＞0时，白噪声信号ω(n+N)对x(n)无影响。  这一结论还可以推广，对于任何均值为零的x(n)，要估计s (n+N)时，只需要考虑B(z)的惯性，即可认为ω(n+N)=0,N＞0， 这样估计出来的结果将有最小均方误差。 终值定理 ^ 表明一个信号的功率谱在单位圆上没有极点与信号均值等于0等价，因此对于功率谱在单位圆上没有极点的信号，要估计s(n+N)时，可认为ω(n+N)=0, N＞0，即仅需要考虑B(z)的惯性，这样估计出来的结果将有最小均方误差。 ^ 2.4.3 一步线性预测的时域解 已知x(n-1), x(n-2)，…,x(n-p), 预测x(n)，假设噪声v(n)=0，这样的预测称为一步线性预测。设定系统的单位脉冲响应为h(n)，根据线性系统的基本理论，输出信号 令apk=-h(k)，则 （2.4.21） 预测误差 （2.4.22） 其中, ap0=1, （2.4.23） 要使均方误差为最小值，要求 同维纳滤波的推导过程一样, 可以得到 E［e*(n)x(n-l)］=0 l=1, 2, …, p （2.4.24） 把(2.4.22)式代入(2.4.24)式, 得到 l=1, 2, …, p （2.4.25） 由于预测器的输出 是输入信号的线性组合，参见（2.4.21)式, 得到 （2.4.26） (2.4.24)式说明误差信号与输入信号满足正交性原理， (2.4.26)式说明预测误差与预测的信号值同样满足正交性原理。 预测误差的最小均方值 (2.4.27） 将(2.4.25)式和(2.4.27)式联立， 得到下面的方程组： （2.4.28） 将方程组写成矩阵形式 （2.4.29） 这就是有名的Yule-Walker方程，可以看出Yule-Walker方程具有以下特点：  (1) 除了第一个方程外，其余都是齐次方程; (2) 与维纳-霍夫方程相比，不需要知道观测数据x(n)与期望信号s(n)的互相关函数。 该方程组有p+1个方程，对应地，可以确定apk,k=1, 2, …, p和E［e2(n)］min，共计p+1个未知数，因此可用来求解AR模型参数。这就是后面要介绍