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第6讲 全等三角形性质与判定 〖学习目标〗 .理解全等三角形的概念，掌握并能运用全等三角形的性质． .掌握判定三角形全等的几种方法，能判定两个三角形全等． .能利用三角形全等证明的一些结论． 是证明线段相等和角度相等，中考试卷中可能在填空或选择中，也作为简单出现这部分的一些常用辅助线作法，不但在全等三角形部分运用，解决几何一些综合题甚至压轴题的手段全等在中考试卷中，如果直接考查知识一般不太难，如果作为综合问题的手段，那么难度可能会提升．〖基础知识·轻松学〗 一、全等三角形的定义 1．全等三角形的表示：全等用符号“”表示，读作“全等于”，其中“”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小相等． 2．寻找对应边和对应角的常用方法： 对应角：对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角；有公共角，一定是对应角；有对顶角，一定是对应角；最大的角是对应角，最小的角是对应角． 对应边：对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；有公共边，一定是对应边；最长的边是对应边，最短的边是对应边． 二、全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等． 精讲：由于全等的两个三角形能够完全重合，因此全等三角形对应边上的中线、高，对应角的角平分线也相等，全等三角形的周长和面积也相等． 三、三角形全等的判定方法 1．边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2．边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形，简写成“边角边”或“SAS”． 3．角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 4．HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称：“斜边、直角边”或“HL”）． 精讲：HL应用说明 （1）HL是识别两个直角三角形全等特有的方法，应用此方法时要注意：要保证两个三角形是直角三角形；斜边相等；任意一条直角边对应相等． （2）三角形全等判定方法的选择 已知条件 可供选择的判定方法 一边和这边邻角对应相等 选边：只能选角的另一边（SAS） 选角：可选另外两对角中任意对角（AASASA） 一边及它的对角对应相等 只能再选一角：可选另外两对角中任意对角（AAS） 两边对应相等 选边：只能选剩下的对边（SSS） 选角：只能选两边的夹角（SAS） 两角对应相等 只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AASASA） （3）一般三角形全等的判定方法对判断两个直角三角形全等全部适用．也就是说判定两个直角三角形全等共有5种方法，即SSS，SAS，ASA，AAS，HL． 四、全等三角形判定的两个反例 1．AAA不能判定两三角形全等 反例：如图1，在△ABC和△ADE中，当DEBC时，ADE＝B，AED＝C，又A＝A，但△ABC和△ADE不全等． 图1 图2 2．ASS不能判定两三角形全等 反例：如图2，△ABC和△ABD中，B＝B，AB＝AB，AC＝AD，但是△ABC与△ABD并不全等． 〖重难疑点·轻松破〗 一、用变换的视角看全等 仔细观察本章题目中涉及的全等三角形，可以发现，大多数图形中两个三角形，其中一个三角形通过平移、旋转和翻折，都能和另一个三角形完全重合． .平移：如图3，将△ABC沿着BC方向，平移一段距离后到达△DEF的位置，平移前后的两个三角形全等，这种变换称为平移变换． 2翻折：如图4，将△ABC沿着BC翻折得到△BDC，翻折前后的这两个三角形全等，这种变换称为翻折变换． 3旋转：如图5，将△ABC绕点A逆时针旋转180°后得到△ADE，旋转前后的这两个三角形全等， 图3 图4 图5 经过图形的变换，图形的一些性质改变了，而另一些性质仍然保留下来，上面这三种变换中，变换前后的两个图形仍然全等，这三种变换也称为全等变换． 例1：如图6，AB＝CD，ABCD，CE＝AF．判断△ABE与△CDF是否全等，并说明理由． 图6 分析：要说明△ABE与△CDF是否全等，“AB＝CD”是题目直接提供的，由“CE＝AF”可得“AE＝CF”，“ABCD”可得夹角“DCA＝CAB”，此时三个条件具备了，最后根据SAS可证两个三角形全等． 答：△ABE与△CDF全等． 理由：CE＝AF，AE＝CF． AB∥CD，DCA＝CAB． 在△ABE与△CDF中 ABE≌△CDF（SAS） 点评：证明两个三角形全等需要寻找相等的对应边和对应角，由于△CDF可看作由△ABE旋转得到