(第十一章三角形.docVIP

三角形 一、三角形相关概念 1．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 2、三角形注意知识点： （1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形； （3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．三角形是多边形中边数最少的一种。三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示. (1)按边分类： 用集合表示 （2）按角分类 用集合表示 等边三角形是等腰三角形的特例 5、三角形中的三种重要线段： 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段． （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部交于三角形内部一点③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画． （2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． ①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部交于三角形内部③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在外； ③三角形三条高所在直线交于一点． （1）三角形的角平分线的表示法： 如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： AD是?ABC的角平分线； AD平分?BAC，交BC于D； ③ 如果AD是?ABC的角平分线，那么?BAD=?DAC=?BAC. (2)三角形的中线表示法： 如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE是?ABC的中线； ②AE是?ABC中BC边上的中线； ③如果AE是?ABC的中线，那么BE=EC=BC. (3)三角线的高的表示法： 如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ①AM是?ABC的高；AM是?ABC中BC边上的高； ②如果AM是?ABC中BC边上高，那么AM?BC，垂足是E； ③如果AM是?ABC中BC边上的高，那么?AMB=?AMC=90?. 7、在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意： (1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交于一点，交点都在三角形内部. 如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上. 二、三角形三边关系定理 1、推论：△ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知：a+c＞b，b+c＞aa+b＞c由、得 b―a＜c，且b―a＞―c故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。从而得到推论：三角形任意两边的差小于第三边。 |a―b|＜c|b―c|＜a，|a―c|＜b。只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。 在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+ca就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 同时我们还很容易得到如下几条结论：（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。（2）一个三角形至少有两个内角是锐角。（3）一个三角形至少有一个角小于或等于60°（否则，若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°，这与定理矛盾）。(4) 三角形有六个外角，其中两两是对顶角相等，所以三角形的三个外角和等于360°。一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800， 即∠A+∠B+∠ACB=1800． 二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800， 即∠BAC+∠B+∠C=1800． 若A+∠B∠C，则此三角形是钝角三角形∠A+∠B＜∠C180-∠C＜C ∠C90 所以∠C是钝角钝角三角形若A+∠